Olasılık ve İstatistik: Dağılımlar, Örnekleme ve Regresyon

Olasılık ve istatistik notlarını 2013-2014 dönemindeki Bilgisayar Mühendisliği lisans dersleri sırasında hazırladım. Güncel sürüm, betimsel istatistikten olasılık dağılımlarına, örneklemeden regresyon ve korelasyona uzanan özgün konu sırasını korurken istatistiksel koşulları ve terminolojiyi yeniden gözden geçirmektedir.

Ünite 1: İstatistiğe Giriş

Temel kavramlar

İstatistik, veri toplama, düzenleme, çözümleme ve yorumlama yöntemlerinin bütünüdür. Amaç, belirsizlik altında karar vermektir.

Anakütle (popülasyon), hakkında bilgi edinilmek istenen birimlerin tümüdür.

Örnek, anakütleden seçilen ve onun özelliklerini yansıtması beklenen alt kümedir.

Tamsayım, anakütleye dahil bütün birimlerin incelenmesidir.

Örnekleme, anakütleden amaca uygun bir örnek seçme işlemidir.

Birim, incelemeye konu olan tek bir gözlem nesnesidir.

Değişken (vasıf), birimlerin gözlenen özelliğidir. Nicel ve nitel olmak üzere ikiye ayrılır.

Anakütleyi tanımlayan sayısal büyüklüğe parametre, örnekten hesaplanan karşılığına istatistik denir. Parametre bilinmez, istatistik hesaplanır. İstatistiksel çıkarım, ikincisinden birincisine geçmektir.

Ölçme düzeyleri

Değişkenin taşıdığı bilgi düzeyi, uygulanabilecek yöntemi belirler.

• Sınıflayıcı (nominal): yalnız ayırt eder. Sıralama yapılamaz. Cinsiyet, meslek.
• Sıralayıcı (ordinal): sıralama yapılır, farklar anlamlı değildir. Eğitim düzeyi, memnuniyet derecesi.
• Aralık (interval): farklar anlamlıdır, sıfır noktası göreceldir. Sıcaklık.
• Oran (ratio): mutlak sıfır vardır, oranlar anlamlıdır. Ağırlık, gelir, süre.

Sınıflayıcı bir değişkenin aritmetik ortalaması hesaplanmaz. Ölçme düzeyi, yöntem seçimindeki ilk süzgeçtir.

Hata payı ve karar verme

Örnekten anakütleye geçişte hata kaçınılmazdır. İki kaynaktan doğar.

Örnekleme hatası, örneğin anakütlenin tümünü temsil edememesinden kaynaklanır. Örnek büyüdükçe azalır.

Örnekleme dışı hata, ölçüm yanlışlığı, yanıt vermeme ve kayıt hatasından kaynaklanır. Örnek büyütmek bu hatayı azaltmaz, çoğu zaman artırır.

İstatistiksel karar, kesinlik değil olasılık ifadesidir. Sonuç her zaman bir güven düzeyiyle birlikte verilir.

İstatistik ve olasılık ilişkisi

İki alan ters yönde çalışır.

Olasılık, anakütle bilindiğinde örneğin nasıl davranacağını hesaplar. Tümdengelimlidir.

İstatistik, örnek gözlendiğinde anakütle hakkında çıkarım yapar. Tümevarımlıdır.

Bu nedenle olasılık kuramı, istatistiksel çıkarımın matematiksel altyapısıdır. Ünite 2, 3 ve 4 bu altyapıyı kurar.

Seriler

Veriler düzenlenme biçimine göre üç seride toplanır.

Basit seri: gözlemler büyüklük sırasına göre tek tek yazılır. Veri sayısı azken kullanılır.

Tasnif edilmiş seri: aynı değeri alan gözlemler bir araya getirilir ve frekansları yazılır. Tekrar eden değerler varsa kullanılır.

Gruplanmış seri: veriler sınıf aralıklarına bölünür ve her aralığın frekansı yazılır. Veri sayısı çokken zorunlu hale gelir.

Gruplamada bilgi kaybı olur. Sınıf içindeki tek tek değerler kaybolur; yerine sınıf orta noktası kullanılır.

Süreksiz bölünme: değişken yalnız belirli değerleri alır. Çocuk sayısı, hane büyüklüğü.

Sürekli bölünme: değişken bir aralıktaki her değeri alabilir. Boy, ağırlık, süre.

Sınıf sayısı seçiminde denge gözetilir. Az sınıf ayrıntıyı siler, çok sınıf düzenlemenin amacını ortadan kaldırır.

Aritmetik ortalama

x̄ = Σxᵢ / n                    basit seri
x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ) / Σfᵢ             frekanslı seri

Gruplanmış seride xᵢ, sınıf orta noktasıdır.

Özellikleri:

1. Ortalamadan sapmaların toplamı sıfırdır: Σ(xᵢ − x̄) = 0.
2. Ortalamadan sapmaların kareleri toplamı en küçüktür. Başka hiçbir sabit bu değeri küçültemez.
3. Bütün değerlere aynı sabit eklenirse ortalama da o kadar artar.
4. Bütün değerler bir sabitle çarpılırsa ortalama da o sabitle çarpılır.

Aritmetik ortalama bütün gözlemleri kullanır. Bu üstünlüğü aynı zamanda zayıflığıdır: aykırı değerlere duyarlıdır. Tek bir uç gözlem ortalamayı belirgin biçimde kaydırır.

Geometrik ortalama

G = ⁿ√(x₁ · x₂ · ... · xₙ)
log G = Σ(log xᵢ) / n

Bütün değerler pozitif olmalıdır. Bir değer sıfırsa geometrik ortalama sıfırdır.

Oransal değişimlerde kullanılır. Büyüme hızı, faiz ve endeks hesaplarında doğru ortalama budur.

Aritmetik ortalamadan her zaman küçük ya da ona eşittir. Eşitlik yalnız bütün değerler aynıysa sağlanır.

Kareli ortalama

K = √(Σxᵢ² / n)

Sapmaların büyüklüğünü ölçerken kullanılır. İşaretten bağımsızdır.

Ortalamalar arasında sabit bir sıralama vardır:

H ≤ G ≤ x̄ ≤ K

H harmonik ortalamadır ve terslerin ortalamasının tersidir. Hız ve birim maliyet hesaplarında kullanılır.

Medyan

Sıralanmış veri dizisinin ortasındaki değerdir. Veriyi iki eşit parçaya böler.

Veri sayısı tekse ortadaki gözlem, çiftse ortadaki iki gözlemin ortalamasıdır.

Gruplanmış seride medyan sınıfı bulunur ve iç değer bulmayla hesaplanır:

Md = L + [ (n/2 − F) / f ] · c

L medyan sınıfının alt sınırı, F önceki birikimli frekans, f medyan sınıfının frekansı, c sınıf aralığıdır.

Özellikleri:

1. Aykırı değerlerden etkilenmez. Bu, aritmetik ortalamaya göre asıl üstünlüğüdür.
2. Medyandan mutlak sapmaların toplamı en küçüktür.
3. Sıralayıcı ölçekte de hesaplanabilir.

Gelir dağılımı gibi çarpık serilerde medyan, aritmetik ortalamadan daha bilgilendiricidir.

Mod

En çok tekrar eden değerdir. En yüksek frekanslı gözlemi gösterir.

Bir seride mod bulunmayabilir ya da birden çok mod bulunabilir. Tek modlu, iki modlu ve çok modlu dağılımlardan söz edilir.

Gruplanmış seride mod sınıfı belirlenir ve komşu sınıfların frekans farklarıyla hesaplanır:

Mo = L + [ Δ₁ / (Δ₁ + Δ₂) ] · c

Mod, sınıflayıcı ölçekte hesaplanabilen tek merkezi eğilim ölçüsüdür.

Üç ölçünün ilişkisi

Simetrik dağılımda üçü çakışır:

x̄ = Md = Mo

Sağa çarpık dağılımda sıralama x̄ > Md > Mo, sola çarpık dağılımda tersidir.

Yaklaşık bağıntı şudur:

x̄ − Mo ≈ 3·(x̄ − Md)

Üç ölçü arasındaki fark, dağılımın çarpıklığının hızlı bir göstergesidir.

Dağılma ölçüleri

Merkezi eğilim tek başına yetersizdir. Aynı ortalamaya sahip iki seri bütünüyle farklı olabilir.

Değişim aralığı: en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır. Hesabı kolaydır, yalnız iki gözlemi kullanır.

Çeyrekler açıklığı: üçüncü çeyrek ile birinci çeyrek arasındaki farktır. Aykırı değerlerden etkilenmez.

Ortalama mutlak sapma: sapmaların mutlak değerlerinin ortalamasıdır.

Varyans: sapmaların karelerinin ortalamasıdır.

σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N            anakütle varyansı
s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)      örnek varyansı

Örnek varyansında n − 1 bölenine serbestlik derecesi denir. Bu düzeltme, örnek varyansının anakütle varyansını sapmasız tahmin etmesini sağlar.

Standart sapma, varyansın kareköküdür. Ölçü biriminin verinin birimiyle aynı olması nedeniyle yorumlanabilirdir.

Değişim katsayısı, standart sapmanın ortalamaya oranıdır. Birimsizdir ve farklı ölçekli serilerin karşılaştırılmasında kullanılır.

DK = (s / x̄) · 100

Varyansın özellikleri

1. Varyans negatif olamaz. Sıfır olması bütün değerlerin eşit olduğunu gösterir.
2. Bütün değerlere sabit eklenirse varyans değişmez. Kaydırma yayılımı etkilemez.
3. Bütün değerler c ile çarpılırsa varyans c² ile çarpılır.
4. Bağımsız iki değişkenin toplamının varyansı, varyansların toplamıdır.

İkinci ve üçüncü özellikler standartlaştırmanın dayanağıdır.

Ünite 2: Kümeler Kuramı

Küme ve alt küme

Bir bütün olarak ele alınan nesne topluluğuna küme, topluluğu oluşturan nesnelere eleman denir.

A kümesinin her elemanı B kümesinde de varsa A, B'nin alt kümesidir. A ⊆ B yazılır.

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ'dir.

Bu ünite, olasılık kuramının dilini kurar. Olasılıkta örnek uzay bir küme, olay onun alt kümesidir. Küme işlemleri doğrudan olay işlemlerine karşılık gelir.

Kesişim, birleşim ve tümleyen

A ∩ B = { x : x ∈ A ve x ∈ B }
A ∪ B = { x : x ∈ A veya x ∈ B }
A' = { x ∈ E : x ∉ A }
A \ B = A ∩ B'

Kesişimi boş olan kümelere ayrık kümeler denir. Olasılıkta bu, birlikte gerçekleşemeyen olaylara karşılık gelir.

İşlem özellikleri

A ∪ B = B ∪ A,   A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Son iki eşitlik De Morgan kurallarıdır. Olasılıkta "en az bir tanesi" ifadesini "hiçbiri değil" ifadesine çevirmek için kullanılır. Bu dönüşüm hesabı çoğu zaman belirgin biçimde kısaltır.

Eleman sayısı için içerme dışlama ilkesi geçerlidir:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Bu ilke, olasılıkta toplama teoreminin küme karşılığıdır.

Ünite 3: Permütasyon ve Kombinasyon

Sayma ilkeleri

Toplama ilkesi: iş ayrık yollardan biriyle yapılıyorsa yol sayıları toplanır.

Çarpma ilkesi: iş ardışık aşamalardan oluşuyorsa aşama sayıları çarpılır.

Bu iki ilke bütün sayma problemlerinin temelidir. Klasik olasılık tanımı, elverişli ve mümkün durum sayılarının oranı olduğundan, sayma doğrudan olasılık hesabıdır.

Permütasyon

Sıralı diziliş sayısıdır.

Tekrarsız permütasyon: her eleman bir kez kullanılır.

P(n, r) = n! / (n − r)!
P(n, n) = n!

Tekrarlı permütasyon: her seçimde bütün elemanlar kullanılabilir.

nʳ

Özdeş elemanlar varsa diziliş sayısı bölünür:

n! / (n₁! · n₂! · ... · nₖ!)

Kombinasyon

Sırasız seçim sayısıdır.

Tekrarsız kombinasyon:

C(n, r) = n! / [ r! · (n − r)! ]

Tekrarlı kombinasyon: aynı eleman birden çok kez seçilebilir.

C(n + r − 1, r)

Özellikler:

C(n, r) = C(n, n − r)
C(n, r) = C(n−1, r−1) + C(n−1, r)
Σ C(n, r) = 2ⁿ

Seçim ölçütü

Ayrımı belirleyen tek soru şudur: sıra sonucu değiştiriyor mu?

Değiştiriyorsa permütasyon, değiştirmiyorsa kombinasyon kullanılır. Kura çekiminde sıra önemsizdir, yarış sıralamasında önemlidir.

İkinci soru şudur: seçilen eleman geri konuyor mu? Konuyorsa tekrarlı, konmuyorsa tekrarsız formül geçerlidir.

Bu iki soru dört olası durumu tam olarak belirler.

Ünite 4: Olasılığa Giriş

Temel kavramlar

Sonucu önceden kesin olarak bilinemeyen işleme rastgele deney denir.

Deneyin bütün olası sonuçlarının kümesine örnek uzay denir. S ile gösterilir.

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Tek elemanlı olaya basit olay denir.

Birlikte gerçekleşemeyen olaylara ayrık olaylar denir. Kesişimleri boş kümedir.

Bir olayın gerçekleşmemesi durumuna tümleyen olay denir.

Olasılığın tanımı

Klasik tanım: bütün sonuçlar eşit olasılıklıysa

P(A) = elverişli durum sayısı / mümkün durum sayısı

Bu tanım, sayma tekniklerini doğrudan kullanır. Eşit olasılık varsayımı sağlanmıyorsa uygulanamaz.

Frekans tanımı: deney çok kez yinelendiğinde göreli frekansın yaklaştığı değerdir.

Aksiyomatik tanım (Kolmogorov): olasılık, aşağıdaki üç koşulu sağlayan bir fonksiyondur.

1.  0 ≤ P(A) ≤ 1
2.  P(S) = 1
3.  A ve B ayrık ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Bütün olasılık teoremleri bu üç aksiyomdan türetilir.

Temel teoremler

P(∅) = 0
P(A') = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
A ⊆ B  ⟹  P(A) ≤ P(B)

Toplama teoremi, ayrık olaylarda kesişim terimi düştüğü için sadeleşir.

Tümleyen kuralı, "en az bir" biçimindeki problemlerde en kısa yoldur. Doğrudan hesap çok sayıda durumu toplarken, tümleyen tek bir hesaptır.

Üç olay için toplama teoremi genişler:

P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Koşullu olasılık

B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığıdır:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B),   P(B) > 0

Anlamı şudur: örnek uzay B kümesine daraltılmıştır. Bütün hesaplar bu yeni uzayda yapılır.

Buradan çarpma teoremi çıkar:

P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)

Bağımsızlık

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa olaylar bağımsızdır:

P(A|B) = P(A)   ⟺   P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Bağımsızlık ile ayrıklık farklı kavramlardır. Sık karıştırılır.

Ayrık olaylar, olasılıkları sıfırdan farklıysa bağımsız olamaz. Biri gerçekleştiğinde diğerinin olasılığı sıfırlanır; bu en güçlü bağımlılıktır.

Toplam olasılık teoremi

B₁, B₂, ..., Bₙ olayları örnek uzayı ayrık biçimde kaplasın. Bu takıma bölüntü denir.

P(A) = Σ P(Bᵢ) · P(A|Bᵢ)

Teorem, karmaşık bir olayı ayrık senaryolara böler. Her senaryonun olasılığı ile o senaryodaki koşullu olasılık çarpılır ve toplanır.

Ağaç diyagramı bu yapının görsel karşılığıdır.

Bayes teoremi

Koşullu olasılığın yönünü tersine çevirir:

P(Bₖ|A) = P(Bₖ)·P(A|Bₖ) / Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)

P(Bₖ) değerlerine önsel olasılık, P(Bₖ|A) değerlerine sonsal olasılık denir.

Teoremin anlamı şudur: yeni bir gözlem elde edildiğinde önceki inanç güncellenir.

Klasik uygulaması tıbbi tanı testleridir. Testin duyarlılığı yüksek olsa bile, hastalığın toplumdaki görülme oranı düşükse pozitif sonucun gerçekten hasta olma olasılığı beklenenden düşük çıkar. Bu sonuç sezgiye aykırıdır ve önsel olasılığın etkisini gösterir.

Aynı yapı hata ayıklama, spam süzme ve güvenilirlik analizinde kullanılır.

Ünite 5: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Rastgele değişken kavramı

Örnek uzayın her elemanına bir reel sayı karşılık getiren fonksiyona rastgele değişken denir.

Adına karşın bir değişken değil, bir fonksiyondur. Rastgele olan girdisidir.

İşlevi şudur: sözel olarak tanımlanmış sonuçları sayıya çevirir. Böylece ortalama, varyans ve dağılım kavramları uygulanabilir hale gelir.

Kesikli rastgele değişken: sayılabilir sayıda değer alır. Zar sonucu, hatalı ürün sayısı, çağrı sayısı.

Sürekli rastgele değişken: bir aralıktaki bütün değerleri alabilir. Süre, ağırlık, uzunluk.

Kesikli dağılım

Her değere karşılık gelen olasılığı veren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir:

p(xᵢ) = P(X = xᵢ)

İki koşulu sağlar:

p(xᵢ) ≥ 0
Σ p(xᵢ) = 1

Birikimli dağılım fonksiyonu şudur:

F(x) = P(X ≤ x) = Σ p(xᵢ),   xᵢ ≤ x

Kesikli durumda F fonksiyonu basamak biçimindedir. Her olası değerde sıçrama yapar; sıçrama miktarı o değerin olasılığıdır.

Kesikli değişkenin beklenen değeri

E(X) = μ = Σ xᵢ · p(xᵢ)

Beklenen değer, olasılıklarla ağırlıklandırılmış ortalamadır. Değişkenin gerçekte alabileceği bir değer olmak zorunda değildir.

Bir zarın beklenen değeri 3,5'tir. Zarda böyle bir yüz yoktur.

Özellikleri:

E(c) = c
E(aX + b) = a·E(X) + b
E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Toplamın beklenen değeri her zaman beklenen değerlerin toplamıdır. Bağımsızlık koşulu aranmaz.

Çarpım için aynı şey geçerli değildir. E(XY) = E(X)·E(Y) eşitliği yalnız bağımsızlıkta sağlanır.

Kesikli değişkenin varyansı

Var(X) = σ² = E[(X − μ)²] = Σ (xᵢ − μ)² · p(xᵢ)

Hesapta kullanılan kısa biçim şudur:

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

Özellikleri:

Var(c) = 0
Var(aX + b) = a² · Var(X)
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y),   X ve Y bağımsız ise

Sabit eklemek varyansı değiştirmez. Sabitle çarpmak varyansı sabitin karesiyle çarpar.

Toplamın varyansı genel olarak kovaryans terimini içerir: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y). Bağımsızlık kovaryansı sıfırlar; ancak sıfır kovaryans genel olarak bağımsızlığı gerektirmez.

Sürekli dağılım

Sürekli değişkende tek bir noktanın olasılığı sıfırdır. Olasılık, aralıklar üzerinden tanımlanır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) şu koşulları sağlar:

f(x) ≥ 0
∫(−∞,∞) f(x) dx = 1
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b] f(x) dx

Olasılık, eğri altındaki alandır. Bu nedenle P(X = a) = 0 olur ve uç noktaların dahil edilip edilmemesi sonucu değiştirmez.

Birikimli dağılım fonksiyonu:

F(x) = ∫(−∞, x] f(t) dt,   F'(x) = f(x)

F fonksiyonu süreklidir ve azalmayandır.

Sürekli değişkenin beklenen değeri ve varyansı

Kesikli formüllerde toplam yerine integral gelir:

E(X) = ∫(−∞,∞) x · f(x) dx
Var(X) = ∫(−∞,∞) (x − μ)² · f(x) dx = E(X²) − [E(X)]²

Bütün beklenen değer ve varyans özellikleri aynen geçerlidir. Kesikli ile sürekli arasındaki fark yalnız hesap aracındadır.

Ünite 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

Kesikli düzgün dağılım

Bütün değerler eşit olasılıklıysa dağılım düzgündür (uniform):

p(x) = 1/n
E(X) = (n+1)/2
Var(X) = (n² − 1)/12

Hilesiz zar bu dağılıma uyar.

Bernoulli dağılımı

Yalnız iki sonuçlu tek bir denemeyi tanımlar. Sonuçlar başarı ve başarısızlıktır.

p(1) = p,   p(0) = 1 − p = q
E(X) = p
Var(X) = p·q

Bütün kesikli dağılımların yapı taşıdır. Diğer dağılımlar bu denemenin yinelenmesinden türer.

Binom dağılımı

n bağımsız Bernoulli denemesindeki başarı sayısını verir.

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · q^(n−k),   k = 0, 1, ..., n
E(X) = n·p
Var(X) = n·p·q

Uygulanabilmesi için dört koşul aranır. Deneme sayısı sabittir. Her denemenin iki sonucu vardır. Başarı olasılığı her denemede aynıdır. Denemeler bağımsızdır.

Son iki koşul, iadeli çekim demektir. İadesiz çekimde koşullar bozulur ve hipergeometrik dağılım kullanılır. Anakütle örneğe göre çok büyükse binom yaklaşımı kabul edilebilir.

p = 0,5 ise dağılım simetriktir. p küçükse sağa, büyükse sola çarpıktır.

Çok terimli dağılım

Sonuç sayısı ikiden çoksa binom dağılımı genişler:

P(X₁=n₁, ..., Xₖ=nₖ) = [ n! / (n₁!·n₂!·...·nₖ!) ] · p₁^n₁ · ... · pₖ^nₖ

Olasılıklar toplamı 1, gözlem sayıları toplamı n olmalıdır.

Her bileşen tek başına binom dağılımlıdır.

Poisson dağılımı

Belirli bir zaman aralığında ya da alanda gerçekleşen nadir olay sayısını verir.

P(X = k) = (e^(−λ) · λᵏ) / k!,   k = 0, 1, 2, ...
E(X) = λ
Var(X) = λ

Teorik Poisson dağılımında beklenen değer ile varyans eşittir: E(X) = Var(X) = λ. Örnek veride bu iki kestirimin tam eşit olması beklenmez; belirgin aşırı ya da az saçılım Poisson varsayımının uygunluğunu sorgulatır.

Koşulları şunlardır. Olaylar bağımsızdır. Ortalama oran sabittir. Çok kısa aralıkta iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı ihmal edilebilir.

Uygulama alanları: birim zamandaki çağrı sayısı, kusur sayısı, sunucuya gelen istek sayısı, kuyruğa katılan müşteri sayısı.

Binom dağılımına yaklaşım: n büyük, p küçük ve n·p ılımlı ise binom dağılımı Poisson ile yaklaşılır. λ = n·p alınır. Uygulamada n ≥ 20 ve p ≤ 0,05 ölçütü kullanılır. Yaklaşım, faktöriyel hesabını ortadan kaldırır.

Geometrik ve negatif binom dağılımları

Binom dağılımı deneme sayısını sabitler ve başarı sayısını sorar. Ters soru da anlamlıdır.

Geometrik dağılım, ilk başarıya kadar geçen deneme sayısını verir:

P(X = k) = q^(k−1) · p
E(X) = 1/p

Negatif binom dağılımı, r. başarıya kadar geçen deneme sayısını verir. Geometrik dağılım bunun r = 1 halidir.

Geometrik dağılım belleksizdir. Geçmiş başarısızlıklar, bundan sonraki bekleyişi etkilemez.

Ünite 7: Sürekli Olasılık Dağılımları

Normal dağılım

Sürekli dağılımların en önemlisidir. Yoğunluk fonksiyonu şudur:

f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e^(−(x−μ)² / (2σ²))

İki parametresi vardır. μ konumu, σ yayılımı belirler.

Özellikleri:

1. Çan biçimlidir ve μ değerine göre simetriktir.
2. Ortalama, medyan ve mod çakışır.
3. Eğri x eksenine asimptottur. Tanım aralığı bütün reel sayılardır.
4. Eğri altındaki toplam alan 1'dir.
5. Dönüm noktaları μ ± σ konumundadır.

Ampirik kural yayılımı özetler:

μ ± σ    aralığında verinin yaklaşık %68'i
μ ± 2σ   aralığında yaklaşık %95'i
μ ± 3σ   aralığında yaklaşık %99,7'si

Standart normal dağılım

μ = 0 ve σ = 1 olan normal dağılımdır. Z ile gösterilir.

Her normal değişken standartlaştırma ile bu dağılıma çevrilir:

Z = (X − μ) / σ

Z değeri, gözlemin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler. Birimsizdir; farklı ölçekli değişkenler bu yolla karşılaştırılır.

Olasılıklar Z tablosundan okunur. Tablonun tek bir dağılım için hazırlanması yeterlidir; standartlaştırma bütün durumları buna indirger.

Simetri nedeniyle negatif değerler için ayrı tablo gerekmez:

P(Z < −a) = 1 − P(Z < a)
P(−a < Z < a) = 2·P(Z < a) − 1

Normal dağılımın önemi

Üç nedenden merkezî konumdadır.

Birincisi, çok sayıda doğal ve teknik ölçüm bu dağılıma yaklaşır. Ölçüm hataları, boy ve ağırlık gibi değişkenler örnektir.

İkincisi, merkezî limit teoremidir. Anakütlenin dağılımı ne olursa olsun, yeterince büyük örneklerde örnek ortalamasının dağılımı normale yaklaşır.

X̄ ~ N(μ, σ²/n)

Uygulamada n ≥ 30 yeterli kabul edilir. Anakütle zaten normalse bu koşul aranmaz.

Teorem, istatistiksel çıkarımın dayanağıdır. Anakütle dağılımı bilinmese bile ortalamaya ilişkin güven aralığı kurulabilir.

Üçüncüsü, birçok test dağılımının normal dağılımdan türemesidir.

Üstel dağılım

İki olay arasındaki bekleme süresini modeller.

f(x) = λ·e^(−λx),   x ≥ 0
F(x) = 1 − e^(−λx)
E(X) = 1/λ
Var(X) = 1/λ²

Poisson dağılımıyla ikizdir. Olay sayısı Poisson ise, olaylar arası süre üsteldir.

Belleksizlik özelliği taşır:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Şimdiye kadar beklenen süre, bundan sonraki bekleyişi etkilemez. Bu özellik, yıpranmayan bileşenlerin ömür modeli olarak kullanılmasını sağlar. Yıpranma varsa Weibull dağılımı daha uygundur.

Gamma dağılımı

Üstel dağılımın genellemesidir. r. olayın gerçekleşmesine kadar geçen süreyi modeller.

E(X) = r/λ
Var(X) = r/λ²

r = 1 alınırsa üstel dağılım elde edilir.

Gamma fonksiyonu, faktöriyelin sürekli genişlemesidir. Tam sayılarda Γ(n) = (n−1)! olur.

Beta dağılımı

Tanım aralığı [0, 1] olan dağılımdır. Oran ve yüzde biçimindeki büyüklükleri modeller.

İki şekil parametresi vardır. Bu parametrelerin değerlerine göre dağılım simetrik, çarpık, U biçimli ya da düzgün olabilir. Esnekliği yüksektir.

Her iki parametre 1 alınırsa düzgün dağılım elde edilir.

Ki-kare dağılımı

Bağımsız standart normal değişkenlerin karelerinin toplamıdır:

χ² = Z₁² + Z₂² + ... + Zₖ²

k sayısına serbestlik derecesi denir. Tek parametredir.

Özellikleri:

1. Yalnız pozitif değerler alır.
2. Sağa çarpıktır. Serbestlik derecesi arttıkça simetriye ve normale yaklaşır.
3. Beklenen değeri k, varyansı 2k'dır.
4. Bağımsız iki ki-kare değişkeninin toplamı yine ki-karedir. Serbestlik dereceleri toplanır.

Kullanım alanları: varyansa ilişkin çıkarım, uygunluk testi, bağımsızlık testi.

F dağılımı

Bağımsız iki ki-kare değişkeninin serbestlik derecelerine bölünmüş oranıdır:

F = (χ₁²/k₁) / (χ₂²/k₂)

İki serbestlik derecesi parametresi vardır. Sıraları önemlidir; F(k₁, k₂) ile F(k₂, k₁) farklı dağılımlardır.

Pozitif değerler alır ve sağa çarpıktır.

İki varyansın karşılaştırılmasında ve varyans analizinde kullanılır.

t dağılımı

Standart normal değişkenin, bağımsız bir ki-kare değişkeninden türeyen terime bölünmesiyle elde edilir:

t = Z / √(χ²/k)

Özellikleri:

1. Sıfıra göre simetriktir ve çan biçimlidir.
2. Normal dağılımdan daha basıktır. Kuyrukları kalındır.
3. Serbestlik derecesi büyüdükçe standart normal dağılıma yaklaşır. Yaklaşık 30'dan sonra fark ihmal edilir.

Kullanım nedeni şudur: anakütle standart sapması bilinmediğinde yerine örnek standart sapması konur. Bu ek belirsizlik, kuyrukların kalınlaşmasıyla karşılanır.

Küçük örneklerde ortalamaya ilişkin çıkarımda t dağılımı kullanılır.

Dağılımlar arası ilişkiler

Sürekli dağılımların çoğu normal dağılımdan türer.

Z²                          →  1 serbestlik dereceli ki-kare
ΣZᵢ²                        →  k serbestlik dereceli ki-kare
Z / √(χ²/k)                 →  t dağılımı
(χ₁²/k₁) / (χ₂²/k₂)         →  F dağılımı
t² (k serbestlik derecesi)  →  F(1, k) dağılımı

Bu bağlar, tabloların birbirinin yerine kullanılabilmesini sağlar.

Ünite 8: Örnekleme

Temel kavramlar

Anakütle, incelemeye konu olan birimlerin tümüdür.

Örnekleme çerçevesi, anakütle birimlerinin listesidir. Çerçeve eksikse örnek, hedeflenen anakütleyi temsil etmez.

Toplam hata, örnekleme hatası ile örnekleme dışı hatanın toplamıdır. Tamsayımda örnekleme hatası yoktur; örnekleme dışı hata genelde daha büyüktür.

Örneklemenin gerekçeleri şunlardır: maliyet, zaman, incelemenin birime zarar vermesi ve anakütlenin sonsuz ya da erişilemez olması.

Dayanıklılık testi gibi tahrip edici incelemelerde tamsayım zaten olanaksızdır.

Örnekleme planı

Bir örnekleme planı şu bileşenleri içerir: anakütlenin tanımı, örnekleme çerçevesi, örnekleme yöntemi, örnek büyüklüğü, veri toplama biçimi ve tahmin edicilerin belirlenmesi.

Planın başarısı temsil gücüyle ölçülür. Örnek, anakütlenin yapısını yansıtmalıdır.

Tahmin

Nokta tahmini, parametre için tek bir değer verir. Örnek ortalaması, anakütle ortalamasının nokta tahminidir.

Bir tahmin ediciden beklenen nitelikler şunlardır: sapmasızlık, tutarlılık, etkinlik ve yeterlilik.

Sapmasızlık, tahmin edicinin beklenen değerinin parametreye eşit olmasıdır. Örnek varyansında n − 1 böleninin nedeni budur.

Aralık tahmini, parametrenin belirli bir olasılıkla içinde bulunduğu aralığı verir. Bu aralığa güven aralığı, olasılığa güven düzeyi denir.

Anakütle standart sapması biliniyorsa:

x̄ ± z(α/2) · (σ / √n)

Bilinmiyorsa ve örnek küçükse t dağılımı kullanılır:

x̄ ± t(α/2, n−1) · (s / √n)

σ/√n büyüklüğüne standart hata denir. Örnek ortalamasının değişkenliğini ölçer.

Standart hata √n ile azalır. Hassasiyeti iki katına çıkarmak için örnek büyüklüğü dört katına çıkarılmalıdır. Bu, örneklemenin temel maliyet yasasıdır.

Güven düzeyi yükseldikçe aralık genişler. Kesinlik ile güven arasında ödünleşme vardır.

Anakütle sonlu ve örnekleme oranı yüksekse sonlu anakütle düzeltmesi uygulanır:

√((N − n) / (N − 1))

Örnekleme oranı %5'in altındaysa düzeltme ihmal edilir.

Gerekli örnek büyüklüğü, istenen hata payından geriye çözülerek bulunur:

n = (z(α/2) · σ / d)²

Basit rastgele örnekleme

Anakütledeki her birimin seçilme olasılığı eşittir. Her olası örnek de eşit olasılıkla seçilir.

Uygulama, rastgele sayı tablosu ya da üreteciyle yapılır.

İadeli ve iadesiz olmak üzere iki biçimi vardır. İadesiz çekim uygulamada standarttır ve daha küçük varyans verir.

Üstünlüğü kuramsal basitliğidir. Bütün formüller doğrudan uygulanır.

Sakıncası şudur: anakütlenin bütün alt gruplarının örnekte temsil edileceği garanti değildir. Küçük ama önemli bir alt grup örneğe hiç girmeyebilir.

Ayrıca geniş coğrafyaya yayılmış anakütlelerde uygulama maliyeti yüksektir.

Sistematik örnekleme

Anakütle sıralanır. Örnekleme aralığı hesaplanır:

k = N / n

İlk k birim arasından rastgele bir başlangıç seçilir. Sonra her k. birim örneğe alınır.

Uygulaması kolaydır ve örnek anakütleye düzgün yayılır.

Sakıncası dönemsellik riskidir. Anakütle sıralamasında k ile aynı dönemi taşıyan bir düzen varsa, örnek sistematik olarak yanlı çıkar. Örneğin haftanın aynı gününe denk gelen seçimler bu duruma yol açar.

Sıralama incelenen değişkenle ilişkiliyse yöntem tabakalı örneklemeye yaklaşır ve etkinliği artar.

Tabakalı örnekleme

Anakütle, kendi içinde benzer birimlerden oluşan alt gruplara ayrılır. Bu gruplara tabaka (zümre) denir. Her tabakadan basit rastgele örnek çekilir.

Tabaka büyüklükleri toplamı anakütleye, örnek büyüklükleri toplamı örneğe eşittir.

N = N₁ + N₂ + ... + Nₖ
n = n₁ + n₂ + ... + nₖ

İlke şudur: tabaka içi değişkenlik küçük, tabakalar arası değişkenlik büyük olmalıdır. Bu koşul sağlandığında tahminin varyansı basit rastgele örneklemeye göre belirgin biçimde küçülür.

Hane geliri araştırmasında hanelerin gelir düzeyine göre ayrılması tipik örnektir.

Örneğin tabakalara dağıtımında üç usul vardır:

• Eşit dağıtım: her tabakadan aynı sayıda birim alınır.
• Orantılı dağıtım: tabaka büyüklüğüyle orantılı sayıda birim alınır.
• En uygun dağıtım (Neyman): tabaka büyüklüğü ile tabaka standart sapmasının çarpımıyla orantılı dağıtım yapılır.

En uygun dağıtım en küçük varyansı verir. Uygulanabilmesi için tabaka varyanslarının önceden bilinmesi ya da kestirilmesi gerekir.

Varyans karşılaştırmasında sıralama genelde şöyledir: en uygun dağıtım, orantılı dağıtımdan; orantılı dağıtım, basit rastgele örneklemeden daha küçük varyans üretir.

Yöntemin ek yararı, her tabaka için ayrı tahmin üretilebilmesidir.

Küme örneklemesi

Anakütle doğal gruplara ayrılır. Bu gruplara küme denir. Kümeler rastgele seçilir.

Tek kademeli örneklemede seçilen kümelerin bütün birimleri incelenir. İki kademeli örneklemede seçilen kümelerden ayrıca birim seçilir.

Tabakalı örneklemeyle karıştırılmamalıdır. İki yöntem ters mantıkla çalışır.

Tabakalı örneklemede bütün tabakalardan seçim yapılır; tabakaların iç içe benzer olması istenir. Küme örneklemesinde kümelerin bir kısmı seçilir; her kümenin anakütleyi temsil etmesi istenir.

Küme örneklemesinin gerekçesi maliyettir. Coğrafi olarak dağınık anakütlelerde saha çalışması bu yolla ucuzlar.

Karşılığında tahmin varyansı genelde daha büyüktür. Aynı kümedeki birimler birbirine benzediği için taşıdıkları bilgi yinelenir.

Ünite 9: Regresyon ve Korelasyon Analizi

Temel kavramlar

İki değişken arasında, birinin bilgisiyle diğeri hakkında tahmin yapılabiliyorsa aralarında ilişki vardır.

Analiz iki başlıkta yürür:

• Regresyon analizi, ilişkinin fonksiyonel biçimini bulur. Tahmin denklemi üretir.
• Korelasyon analizi, ilişkinin derecesini ve yönünü ölçer.

İlk adım saçılım diyagramıdır. Gözlemler kartezyen düzlemde işaretlenir. Noktaların oluşturduğu bulut, ilişkinin varlığı ve biçimi hakkında ilk bilgiyi verir.

Doğrusal olmayan bir ilişki saçılım diyagramında görülür. Bu incelemenin atlanması, uygun olmayan modelin kurulmasına yol açar.

Model biçimleri

Temel istatistik düzeyinde üç model kullanılır: doğrusal model, üstel model ve parabolik model.

Üstel ve parabolik modeller logaritma ya da değişken dönüşümüyle doğrusal biçime getirilir. Bu nedenle asıl inceleme doğrusal model üzerinden yürür.

Doğrusal regresyon

Model şudur:

Y = a + b·X + ε

X açıklayıcı (bağımsız) değişken, Y açıklanan (bağlı) değişkendir. ε hata terimidir.

Parametreler en küçük kareler yöntemiyle bulunur. Ölçüt, gözlenen ile tahmin edilen değerler arasındaki sapmaların kareleri toplamının en küçük olmasıdır.

b = [ Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ] / [ Σ(xᵢ − x̄)² ]
a = ȳ − b·x̄

Kareler alınmasının nedeni iki tanedir. Pozitif ve negatif sapmaların birbirini götürmesi engellenir. Türevle çözülebilen bir en küçükleme problemi elde edilir.

Regresyon doğrusu her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer.

b katsayısı eğimdir. X bir birim arttığında Y'deki ortalama değişimi verir. a sabiti, X = 0 iken beklenen Y değeridir; çoğu uygulamada yorumu anlamlı değildir.

İki regresyon denklemi

Y'nin X'e göre regresyonu ile X'in Y'ye göre regresyonu farklı denklemlerdir.

Y = a + b(yx)·X
X = c + b(xy)·Y

İki doğru genelde çakışmaz. Hangisinin kurulacağı, hangi değişkenin tahmin edileceğine bağlıdır.

İki doğru ancak ilişki tam doğrusalsa çakışır.

Korelasyon katsayısı

İki regresyon katsayısının geometrik ortalaması korelasyon katsayısını verir:

r = ±√( b(yx) · b(xy) )

Hesap için kullanılan biçim şudur:

r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √( Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)² )

r değeri −1 ile +1 arasındadır.

Yorumu şöyledir. İşaret ilişkinin yönünü verir. Mutlak değer ilişkinin gücünü verir. Sıfıra yakın değer doğrusal ilişkinin zayıflığını gösterir.

İşareti, eğim katsayısının işaretiyle aynıdır.

r = 0 olması ilişkisizlik anlamına gelmez. Yalnız doğrusal ilişkinin bulunmadığını gösterir. Güçlü bir parabolik ilişkide r sıfıra yakın çıkabilir.

Belirlilik katsayısı

r değerinin karesine belirlilik katsayısı (determinasyon katsayısı) denir.

r², bağlı değişkendeki toplam değişimin ne kadarının model tarafından açıklandığını verir. Yüzde olarak yorumlanır.

r = 0,8 ise r² = 0,64 olur. Değişimin yaklaşık üçte ikisi açıklanmıştır.

Açıklanmayan kısım, modele girmemiş etkenlerden ve rastgele değişimden kaynaklanır.

Korelasyon ve nedensellik

Yüksek korelasyon nedensellik göstermez. Bu, konunun en sık yapılan yorum hatasıdır.

Üç açıklama olasıdır. X, Y'yi etkiliyor olabilir. Y, X'i etkiliyor olabilir. Üçüncü bir değişken ikisini birden etkiliyor olabilir.

Üçüncü duruma sahte korelasyon denir. Dondurma satışı ile boğulma vakaları arasındaki ilişki bu türdendir; ortak neden sıcaklıktır.

Nedensellik, istatistiksel ilişkiden değil, deneysel tasarımdan ve alan bilgisinden çıkarılır.

Kontenjans katsayısı

Değişkenler nicelse korelasyon katsayısı kullanılır. Nitel ise kontenjans katsayısı kullanılır.

Veriler çapraz tabloda toplanır. Satırlar bir değişkenin, sütunlar diğerinin kategorileridir.

Bağımsızlık varsayımı altında beklenen frekanslar hesaplanır:

Eᵢⱼ = (satır toplamı × sütun toplamı) / genel toplam

Gözlenen ve beklenen frekanslar karşılaştırılır:

χ² = Σ (Oᵢⱼ − Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ

Ki-kare değerinin büyük çıkması, bağımsızlık varsayımının desteklenmediğini gösterir.

Kontenjans katsayısı bu değerden türetilir:

C = √( χ² / (χ² + N) )

N toplam frekanstır.

C değeri sıfır ile bir arasındadır ancak üst sınıra ulaşamaz. Üst sınır tablo boyutuna bağlıdır. Bu nedenle farklı boyutlu tablolardan elde edilen C değerleri doğrudan karşılaştırılmaz.

Düzeltilmiş ölçüler bu sakıncayı giderir. Tschuprow katsayısı ve Cramér V katsayısı tablo boyutuna göre normlanır. Cramér V bugün yaygın olarak kullanılan ölçüdür.

İki kategorili değişkenlerde tetrakorik korelasyon katsayısı kullanılır. Altta yatan sürekli ve normal dağılımlı bir yapının varlığı varsayılır.

Genel Kavramsal Çerçeve

Dersin dokuz ünitesi tek bir akışın parçalarıdır.

O akış şudur: veriden anakütleye giden yol.

veri düzenleme ve özetleme     (Ünite 1)
   ↓
sayma ve küme dili             (Ünite 2, 3)
   ↓
olasılık kuramı                (Ünite 4)
   ↓
rastgele değişken ve dağılım   (Ünite 5)
   ↓
dağılım modelleri              (Ünite 6, 7)
   ↓
örnekten çıkarım               (Ünite 8)
   ↓
değişkenler arası ilişki       (Ünite 9)

İlk ünite elde olanı özetler. Ortadaki üniteler belirsizliğin dilini kurar. Son iki ünite elde olandan bilinmeyene geçer.

İkinci bağ betimleme ile çıkarım ayrımıdır. Ortalama ve varyans, eldeki veriyi anlatır. Güven aralığı ve regresyon, eldeki veriden anakütle hakkında konuşur. İkinci adım olasılık kuramı olmadan atılamaz.

Üçüncü bağ iki temel niceliğin her yerde yinelenmesidir. Konum ve yayılım, dersin her ünitesinde farklı adla döner.

betimsel istatistik    →  x̄  ve  s²
rastgele değişken      →  E(X)  ve  Var(X)
dağılımlar             →  μ  ve  σ²
örnekleme              →  x̄  ve  standart hata
regresyon              →  tahmin denklemi  ve  açıklanmayan değişim

Aynı iki soru sorulur: merkez nerede, yayılım ne kadar.

Dördüncü bağ merkezî limit teoremidir. Ders boyunca kurulan bütün yapı bu teoremde birleşir. Anakütle dağılımı bilinmese bile örnek ortalaması normal davranır. Bu nedenle normal dağılım, tek bir dağılım olmaktan çıkıp bütün çıkarımın ortak zemini olur.

Beşinci bağ belirsizliğin sayısallaştırılmasıdır. İstatistik kesin yanıt vermez. Her sonuç bir güven düzeyiyle, bir hata payıyla ve bir varsayım kümesiyle birlikte gelir. Varsayımlar belirtilmeden verilen sonuç eksiktir.

Dersin sınırı da belirtilmelidir. Hipotez testleri, varyans analizi ve çoklu regresyon bu metnin dışındadır. Kurulan olasılık ve örnekleme altyapısı, bu konuların doğrudan hazırlığıdır.

Kavramsal Ayrımlar

Akılda tutulması gereken ayrımlar şunlardır:

Anakütle ≠ örnek. Parametre anakütleye, istatistik örneğe aittir.

Tamsayım ≠ örnekleme. Tamsayımda örnekleme hatası yoktur, örnekleme dışı hata genelde büyüktür.

Örnekleme hatası ≠ örnekleme dışı hata. Örnek büyütmek yalnız birincisini azaltır.

Ölçme düzeyi yöntemi belirler. Sınıflayıcı veride ortalama hesaplanmaz.

Aritmetik ≠ geometrik ortalama. Oransal değişimde geometrik ortalama kullanılır.

Ortalama ≠ medyan. Ortalama aykırı değere duyarlıdır, medyan değildir.

Mod tek olmak zorunda değildir. Hiç bulunmayabilir ya da birden çok olabilir.

Varyans ≠ standart sapma. Standart sapma verinin birimindedir.

n ≠ n − 1. Örnek varyansında n − 1 böleni sapmasızlığı sağlar.

Değişim katsayısı birimsizdir. Farklı ölçekli serilerin karşılaştırılmasında kullanılır.

Ayrık olay ≠ bağımsız olay. Ayrık olaylar, olasılıkları sıfırdan farklıysa bağımsız olamaz.

P(A|B) ≠ P(B|A). Bayes teoremi ikisi arasındaki dönüşümü verir.

Önsel olasılık ≠ sonsal olasılık. Sonsal, yeni gözlemle güncellenmiş olandır.

Rastgele değişken bir fonksiyondur, değişken değildir.

E(X) gerçekleşebilir bir değer olmak zorunda değildir.

E(X+Y) = E(X)+E(Y) bağımsızlık gerektirmez. Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) eşitliği Cov(X,Y) = 0 olduğunda geçerlidir; bağımsızlık bunun için yeterli fakat gerekli olmayan bir koşuldur.

Kesikli ≠ sürekli değişken. Sürekli dağılımda tek bir noktanın olasılığı sıfırdır.

Olasılık fonksiyonu ≠ yoğunluk fonksiyonu. İkincisi olasılık değil, yoğunluk verir.

Binom ≠ Poisson. Binomda deneme sayısı sabittir, Poissonda olay sayısı sayılır.

Poisson modelinde kuramsal ortalama ve varyans λ değerine eşittir. Örnek veride belirgin aşırı veya az saçılım görülmesi model varsayımının ayrıca incelenmesini gerektirir.

Binom ≠ hipergeometrik. İadeli çekimde binom, iadesizde hipergeometrik kullanılır.

Normal dağılım ≠ standart normal. İkincisi μ = 0 ve σ = 1 halidir.

Merkezî limit teoremi anakütleye değil, örnek ortalamasına ilişkindir.

t ≠ Z. Anakütle standart sapması bilinmiyor ve standart t-modeli varsayımları sağlanıyorsa, özellikle küçük örneklerde Student t dağılımı kullanılır.

Ki-kare ≠ F ≠ t. Üçü de normal dağılımdan türer, kullanım alanları farklıdır.

Nokta tahmini ≠ aralık tahmini. İkincisi belirsizliği de bildirir.

Standart hata ≠ standart sapma. Standart hata, tahmin edicinin değişkenliğidir ve √n ile azalır.

Güven düzeyi ile aralık genişliği ters çalışmaz, birlikte artar. Kesinlik ile güven arasında ödünleşme vardır.

Tabakalı örnekleme ≠ küme örneklemesi. İlkinde her tabakadan seçim yapılır, ikincisinde kümelerin bir kısmı seçilir.

Tabaka içi benzerlik istenir, küme içi çeşitlilik istenir.

Regresyon ≠ korelasyon. İlki biçimi, ikincisi dereceyi verir.

İki regresyon denklemi farklıdır. Hangi değişkenin tahmin edileceği belirleyicidir.

r = 0 ilişkisizlik değildir. Yalnız doğrusal ilişkinin yokluğunu gösterir.

r ≠ r². İkincisi açıklanan değişim oranıdır.

Korelasyon ≠ nedensellik. Üçüncü bir değişken ikisini birden etkiliyor olabilir.

Korelasyon katsayısı nicel, kontenjans katsayısı nitel değişkenler içindir.

Farklı boyutlu tabloların C değerleri karşılaştırılmaz. Üst sınır tablo boyutuna bağlıdır.

Bu ayrımlar kavrandığında dersin konuları tek bir çıkarım zinciri içinde yerine oturur.

Kaynakça

• Meral Yay. İstatistik ve Olasılık (TBIL209 ders materyalleri). Ahmet Yesevi Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü.
• Sheldon M. Ross. A First Course in Probability, 10th Edition. Pearson, 2018.
• Douglas C. Montgomery, George C. Runger. Applied Statistics and Probability for Engineers, 7th Edition. Wiley, 2018.
• Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish. Probability and Statistics, 4th Edition. Pearson, 2012.
• George Casella, Roger L. Berger. Statistical Inference, 2nd Edition. Duxbury, 2002.
• William G. Cochran. Sampling Techniques, 3rd Edition. Wiley, 1977.