Frekans Tablosu Oluşturma | Sınıflı ve Birikimli Frekans

Sayısal gözlemlerden sınıf aralıkları, mutlak ve bağıl frekanslar ile birikimli dağılım hesaplama; Sturges kuralı ve 120 gözlemli örnek.

Frekans dağılımının amacı

Frekans tablosu, sayısal gözlemleri değerlerine veya sınıf aralıklarına göre düzenleyerek bir veri kümesinin dağılımını gösterir. Köker Frekans Tablosu 1.0, C# ile geliştirilen ve kullanıcı tarafından girilen sayısal gözlemlerden sınıflı frekans, bağıl frekans ve birikimli frekans tabloları üreten bir uygulamadır. Gözlem sayısı, en küçük ve en büyük değer, dağılım genişliği, sınıf sayısı, sınıf aralığı ve sınıf orta noktaları aynı hesaplama zincirinin parçalarıdır.

Hesaplamada sınıf sayısı kullanıcı tarafından belirlenebilir veya Sturges kuralıyla elde edilebilir. İki ondalık basamaklı yuvarlama seçeneği ve 120 gözlemli örnek veri kümesi, sınıf aralığı oluşturma ve frekans dağılımını uygulamalı olarak incelemeyi sağlar. İstatistiksel işlemler veri okuma, betimleyici büyüklükleri hesaplama, sınıfları oluşturma, frekansları sayma ve toplamları üretme aşamalarında ele alınır.

Matematiksel tanımlar

Gözlem sayısı n olan bir veri kümesi X = (x₁, x₂, …, xₙ) ile gösterilsin. En küçük ve en büyük gözlemler x_min ve x_max, değişim aralığı R = x_max − x_min olsun. Sınıflı bir frekans dağılımında k ayrık sınıf aralığı kurulur. Her sınıfın alt ve üst sınırı, orta noktası, mutlak frekansı ve bağıl frekansı vardır.

n       : gözlem sayısı
k       : sınıf sayısı
R       : x_max − x_min
h       : sınıf genişliği
f_i     : i. sınıftaki gözlem sayısı
p_i     : f_i / n
m_i     : i. sınıfın orta noktası
F_j     : Σ(i=1..j) f_i
P_j     : F_j / n
G_j     : n − F_j

Mutlak frekansların toplamı gözlem sayısını verir: Σ f_i = n. Bağıl frekansların toplamı ise Σ p_i = 1 olur. Birikimli frekans, sınıfların belirli bir eşiğe kadar taşıdığı gözlem sayısını gösterir. Başlangıç değeri F₀ = 0, son değer Fₖ = n biçimindedir. Aynı eşikte üst tarafta kalan gözlemlerin sayısı G_j = n − F_j bağıntısıyla hesaplanır. Bu iki dizi farklı yönden aynı dağılımı özetler.

Sınıfların genişliği aynıysa sınıf frekansları doğrudan karşılaştırılabilir. Genişlikler farklı olduğunda histogramın sütun yüksekliği frekans yoğunluğu üzerinden belirlenir: f_i / (n h_i). Böyle bir histogramda her sütunun alanı ilgili sınıfın bağıl frekansıdır.

Sınıf sayısının belirlenmesi

Sturges kuralı

Sturges kuralı, sınıf sayısını örneklem büyüklüğünün logaritmasıyla ilişkilendirir:

k ≈ 1 + log₂(n)
k ≈ 1 + 3.321928 × log₁₀(n)

Uygulamanın otomatik sınıf sayısı hesabı, on tabanında logaritma ve 3,3 katsayısı kullanır. Elde edilen pozitif sayının tam kısmı sınıf sayısı olarak alınır. Örnek veri kümesinde n = 120 için sonuç k = 7 olur. Kullanıcı ayrıca sınıf sayısını doğrudan belirleyebilir. İki seçenek aynı frekans hesaplama zincirini, farklı k değerleriyle çalıştırır.

Sınıf sayısı dağılımı inceleme ölçeğini belirler. Az sayıda sınıf, birbirine yakın gözlemleri daha geniş aralıklarda birleştirir; daha fazla sınıf ise yoğunlaşmaları daha ayrıntılı gösterir. Sturges kuralı bu seçim için hesaplanabilir bir başlangıç noktası sağlar.

Scott ve Freedman–Diaconis genişlikleri

Histogram sınıf genişliği için başka iki istatistiksel yöntem Scott ve Freedman–Diaconis kurallarıdır:

Scott:              h = 3.49 × s × n^(−1/3)
Freedman–Diaconis:  h = 2 × IQR × n^(−1/3)

Burada s standart sapma, IQR çeyrekler arası açıklıktır. Scott kuralı dağılımın ölçeğini standart sapmayla, Freedman–Diaconis kuralı ise merkezi dağılımın yayılımını çeyreklerle temsil eder. Bu yöntemler sınıf sayısını doğrudan değil, sınıf genişliğini belirler; ardından R/h oranından uygun sınıf sayısı türetilebilir. Frekans tablosu uygulamasında sınıf sayısı seçiminin temelini Sturges yaklaşımı oluşturur.

Sınıf sınırları ve aralık genişliği

Sınıf aralıklarının oluşturulmasında önce R = x_max − x_min bulunur. Sınıf sayısı k belirlendikten sonra genişlik, ölçüm çözünürlüğü dikkate alınarak hesaplanır. İki basamaklı ondalık gözlemlerin işlendiği örnek düzeninde kullanılan işlem:

h = (R + 0.01) / k

İstenirse elde edilen genişlik iki ondalık basamağa yuvarlanır. İlk sınıfın alt sınırı minimum gözleme eşittir. Sonraki alt sınırlar bir önceki alt sınıra sınıf genişliğinin eklenmesiyle bulunur. İki ondalık basamaklı sınır gösteriminde ilk sınıfın üst sınırı, ikinci sınıfın alt sınırından 0,01 çıkarılarak ifade edilir. Diğer üst sınırlar aynı genişliğin ilerletilmesiyle oluşturulur.

Matematiksel sınıflandırmada yaygın diğer gösterim, iç sınıflar için yarı açık [a_i, a_{i+1}) aralıklarını kullanmak ve son sınıfın en büyük gözlemi de kapsamasını sağlamaktır. Böylece her gözlem tam olarak bir sınıfa atanır. Gözlemlerin ölçüm hassasiyetine göre seçilen sınır gösterimi ve yarı açık aralık gösterimi, aynı dağılımı farklı sayısal temsillerle ifade edebilir.

Bir sınıfın orta noktası alt ve üst sınırların aritmetik ortalamasıdır:

m_i = (a_i + b_i) / 2

Orta nokta, ilgili aralığın temsilî konumunu gösterir. Sınıf içindeki gerçek gözlem değerlerinin tamamının orta noktada bulunduğu anlamına gelmez.

Frekansların hesaplanması

Mutlak frekans

Sınıf sınırları üretildikten sonra gözlemler ilgili aralıklara atanır ve her sınıfın sayacı artırılır. İki sınırın da kapsandığı sınıf gösteriminde bir gözlemin sınıfa katılma koşulu a_i ≤ x ≤ b_i biçimindedir. Aralıkların birbiriyle örtüşmemesi ve veri kümesini kapsamasıyla frekans toplamı gözlem sayısına eşit olur.

Hesaplama, her sınıf için veri kümesinin taranması biçiminde gerçekleştirildiğinde işlem maliyeti O(nk) düzeyindedir. Ek frekans dizisinin büyüklüğü O(k) olur. En küçük ve en büyük değerin bulunması O(n), birikimli frekansların hesaplanması O(k) süre gerektirir. Sınıflar eşit genişlikli seçildiğinde gözlemin sınıf indisi aritmetik olarak da hesaplanabilir; bu biçimde sayım O(n + k) süreyle temsil edilebilir. Her iki yaklaşımın temel istatistiksel işlemi aynıdır: sınıf başına gözlem sayısını elde etmek.

Bağıl frekans

Bağıl frekans, bir sınıftaki gözlem sayısının bütün gözlem sayısına oranıdır:

p_i = f_i / n
Σ p_i = 1

Bu oran yüzde olarak gösterilmek istendiğinde 100 × p_i kullanılır. Bağıl frekanslar farklı büyüklükteki veri kümelerinin dağılımlarını aynı ölçekte karşılaştırmaya imkân verir. Yalnız sunum amacıyla yuvarlanan oranların toplamı görüntülenen basamak sayısına bağlı olarak değişebilir; esas sayım büyüklükleri tam sayılı frekanslardır.

Birikimli frekans

Artan birikimli frekans ilk sınıftan başlayarak her sınıfın frekansını önceki toplamına ekler. Eşiklerin başına sıfır başlangıç değeri konduğunda k sınıf için k+1 kümülatif eşik ortaya çıkar:

F₀ = 0
F_j = F_(j−1) + f_j
P_j = F_j / n

Eşiğin üst tarafında kalan gözlem sayısı aynı dağılımın tamamlayıcı birikimli frekansıdır:

G_j = n − F_j
Q_j = G_j / n
F_j + G_j = n
P_j + Q_j = 1

Bu ifadeler, artan ve azalan kümülatif dağılımın birlikte yorumlanmasını sağlar. Eşik seçimine bağlı olarak “küçük”, “küçük veya eşit”, “büyük” ve “büyük veya eşit” ayrımının sınıf sınırlarıyla tutarlı kurulması gerekir.

Hesaplama algoritması

Veri kümesinin frekans tablosuna dönüştürülmesi, girişin alınması ile sonuçların düzenlenmesi arasında belirli bir işlem sırası izler. Aşağıdaki sözde kod işlem basamaklarını matematiksel adlarıyla gösterir:

INPUT observations, requestedClassCount, useSturges, roundToTwoDecimals

count ← observations.length
minimum ← min(observations)
maximum ← max(observations)
range ← maximum − minimum

IF useSturges THEN
    classCount ← integerPart(1 + 3.3 × log10(count))
ELSE
    classCount ← requestedClassCount
END IF

classWidth ← (range + 0.01) / classCount
IF roundToTwoDecimals THEN
    classWidth ← round(classWidth, 2)
END IF

boundaries ← buildClassBoundaries(minimum, classWidth, classCount)
frequencies ← countObservations(observations, boundaries)
relativeFrequencies ← frequencies / count
cumulativeFrequencies ← prefixSums(frequencies)
relativeCumulative ← cumulativeFrequencies / count
complementaryCumulative ← count − cumulativeFrequencies

OUTPUT classBoundaries, classMidpoints, frequencies,
       relativeFrequencies, cumulativeFrequencies,
       relativeCumulative, complementaryCumulative

Sözde kod, uygulamanın temel hesabını İngilizce algoritma adlarıyla ifade eder. Gözlemlerin gruplanması, sınıf sayısının hesaplanması, sınıf genişliğinin ilerletilmesi, sınıf sayımlarının çıkarılması ve birikimli toplamların oluşturulması birbirini izleyen işlemlerdir. Uygulama ayrıca örnek veri yükleme ve sonuçları tablo biçiminde gösterme işlevlerini sunar.

120 gözlemli örnek dağılımın hesaplanması

Örnek veri kümesi 120 sayısal gözlem içerir. En küçük gözlem 2,85, en büyük gözlem 3,93 ve dağılım genişliği 1,08 değerindedir. Sturges yöntemiyle k = 7 sınıf elde edilir. İki ondalık basamaklı yuvarlama kullanıldığında sınıf genişliği h = 0,16 olur.

Sınıfların ilkinde 2,85–3,00 aralığında üç gözlem bulunur; sınıf orta noktası 2,925, bağıl frekansı 0,0250'dır. 3,01–3,16 aralığındaki ikinci sınıfın orta noktası 3,085, frekansı 11 ve bağıl frekansı 0,0917'dir. Üçüncü sınıf olan 3,17–3,32 aralığı 32 gözlem içerir; 3,245 orta noktasına karşılık gelen bağıl frekans 0,2667'dir. Dördüncü sınıfta da 32 gözlem bulunur: 3,33–3,48 aralığının orta noktası 3,405, bağıl frekansı 0,2667'dir.

Beşinci sınıfın sınırları 3,49–3,64, orta noktası 3,565, frekansı 25 ve bağıl frekansı 0,2083'tür. Altıncı sınıf 3,65–3,80 aralığındaki 13 gözlemi (0,1083) kapsar ve orta noktası 3,725'tir. Son sınıfta 3,81–3,96 aralığı, 3,885 orta noktası ve dört gözlem (0,0333) bulunur. Mutlak frekansların toplamı 120, bağıl frekansların toplamı gösterilen dört ondalık basamakla 1,0000'dır. Gözlem değerlerinin iki ondalık basamaklı olması nedeniyle bitişik sınıfların gösterilen alt ve üst sınırları arasında 0,01 fark bulunur.

İlk iki sınıfta toplam 14 gözlem bulunurken üçüncü ve dördüncü sınıfların toplamı 64'tür. Bu iki merkezi aralık veri kümesinin yaklaşık %53,33'ünü kapsar; son iki sınıfın toplam frekansı 17'dir. Böylece yoğunlaşma, her gözlem ayrı ayrı incelenmeden sınıf aralıkları üzerinden belirlenebilir.

Birikimli dağılımın çıkarılması

Sınıfların frekansları sırayla 3, 11, 32, 32, 25, 13, 4 değerlerini alır. Alt eşikten başlayan artan birikimli frekanslar 0, 3, 14, 46, 78, 103, 116, 120; aynı eşiklerin üzerindeki tamamlayıcı gözlem sayıları ise 120, 117, 106, 74, 42, 17, 4, 0 sırasını izler. Her eşikte artan ve tamamlayıcı toplamların toplamı 120'dir.

Örneğin dördüncü sınıf tamamlandığında 78 gözlem birikimli toplamda yer alır; aynı eşikte 42 gözlem üst tarafta kalır. Bağıl değerler sırasıyla 78/120 = 0,65 ve 42/120 = 0,35 olur. Son eşikte artan birikimli frekans 120, tamamlayıcı frekans sıfırdır. Kümülatif sütunlar yüzde sıklığı ile birlikte değerlendirildiğinde dağılımın çeyreklikler ve medyan çevresindeki birikimi de yaklaşık olarak incelenebilir.

Frekans tablosunun yorumlanması

Frekans dağılımı, ham gözlemleri tekrarlanabilir bir sayma düzenine dönüştürür. Her bir aralığın mutlak frekansı veri yoğunluğunun büyüklüğünü, bağıl frekansı bütün veri kümesindeki payını, birikimli frekansı ise belirli eşiğe kadar ulaşan gözlem sayısını verir. Bu üç gösterim birlikte kullanıldığında merkezi yığılmalar, kuyruklar ve dağılımın birikimi sayısal olarak karşılaştırılabilir.

Sınıflı temsil gözlem düzeyindeki ayrıntıları aralık ölçeğine dönüştürür. Bu nedenle sınıf sayısı ve genişliği, istatistiksel görünümün çözünürlüğünü belirler. Farklı sınıf sayılarıyla elde edilen frekans tablolarının karşılaştırılması, dağılımın temel biçimini incelemek için kullanılır. Ham gözlemler korunuyorsa istenen sınıflandırma yeniden hesaplanabilir.

İlgili teorik çerçeve Olasılık ve İstatistik: Dağılımlar, Örnekleme ve Regresyon dersinde; Frekans Tablosu ve Sturges Kuralı maddelerinde kavramsal olarak, C# Programlama dersinde ise programlama yönünden ele alınır.

Sınıf Aralığı, Sınır Değerleri ve Dağılımın Yorumlanması

Gruplanmış frekans tablosunda kullanılan sınıf sınırları her gözlemi yalnız bir sınıfa atamalıdır. Örneğin [0,10), [10,20) ve [20,30] aralıklarında 10 ikinci, 20 üçüncü sınıfa girer. Son aralığın kapalı olması ayrıca belirtilmelidir; sınır tanımı olmadan oluşturulan histogramda en uç gözlemler iki kez sayılabilir veya dışarıda kalabilir.

Sturges kuralı k = 1 + log₂(n) biçiminde sınıf sayısına yaklaşık bir başlangıç değeri verir. Çok büyük örneklemler, belirgin çarpıklık veya çok tepeli dağılımlar için tek başına yeterli seçim kuralı değildir. Freedman–Diaconis genişliği h = 2 IQR n^(-1/3) aykırı değerlere daha dayanıklıdır; ancak IQR sıfır olduğunda ek strateji gerektirir. Eşit genişlikli olmayan sınıfların histogramında sütun yüksekliği frekans değil frekans / sınıf genişliği yoğunluğuyla orantılı olmalıdır.

Denetim için mutlak frekansların toplamı örneklem büyüklüğüne, göreli frekansların toplamı da sayısal tolerans içinde bire eşit olmalıdır. Eksik değerler, taşmalar ve sınır dışında kalan gözlemler ayrı raporlanır; bu kayıtlar sessizce örneklem dışı bırakılırsa tablonun paydası değişir.

Kaynakça

Freedman, David; Diaconis, Persi. “On the histogram as a density estimator: L² theory.” Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 57, 453–476, 1981. DOI: 10.1007/BF01025868.
Köker, Muhammet Ali. C# Programlama Dili ile Frekans Tablosu Bulma Yazılımı Geliştirme. Olasılık ve İstatistik proje raporu.
Microsoft. Math.Round Method. .NET API belgeleri. https://learn.microsoft.com/dotnet/api/system.math.round
NumPy. histogram_bin_edges — Bin Width Selection. https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.histogram_bin_edges.html
Scott, David W. “On optimal and data-based histograms.” Biometrika, 66(3), 605–610, 1979. DOI: 10.1093/biomet/66.3.605.
Sturges, Herbert A. “The Choice of a Class Interval.” Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66, 1926. DOI: 10.1080/01621459.1926.10502161.