Matematik I: Fonksiyon, Limit, Türev ve İntegral

Matematik I notlarını 2013-2014 dönemindeki Bilgisayar Mühendisliği lisans dersleri sırasında hazırladım. Güncel sürüm, özgün konu sırasını ve temel kapsamı korurken terminolojiyi, teknik ayrıntıları ve kaynakçayı daha sonraki kaynaklarla yeniden gözden geçirmektedir.

Ünite 1: Fonksiyonlar

Fonksiyon kavramı

A ve B iki küme olsun. A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen kurala A'dan B'ye fonksiyon denir.

Gösterim şu biçimdedir:

f: A → B,   x ↦ y = f(x)

A kümesine tanım kümesi denir. B kümesine değer kümesi denir.

Tanımın iki koşulu vardır. Tanım kümesindeki her eleman eşlenmelidir. Hiçbir eleman birden çok görüntüye sahip olamaz.

Tanım ve değer kümeleri reel sayıların altkümesi ise fonksiyona sayı fonksiyonu denir. Bu derste fonksiyon dendiğinde sayı fonksiyonu anlaşılır.

f(x) = y yazımında x bağımsız değişken, y bağımlı değişkendir.

Tanım kümesinin belirlenmesi

Bir fonksiyon yalnız kuralıyla verilmişse tanım kümesi, kuralı reel yapan noktaların kümesidir.

Üç kısıt sık karşılaşılır:

• Paydanın sıfır olmaması gerekir.
• Çift dereceli kök içindeki ifade negatif olamaz.
• Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır.

Kısıtlar birlikte sağlanır. Sonuç kümeleri kesiştirilir.

Örnek: f(x) = √(x − 1) + √(3 − x) fonksiyonunda x ≥ 1 ve x ≤ 3 koşulları birlikte aranır. Tanım kümesi [1, 3] aralığıdır.

Görüntü kümesi, içine ve örten fonksiyon

Tanım kümesindeki elemanların görüntülerinden oluşan kümeye görüntü kümesi denir. f(A) ile gösterilir.

Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin altkümesidir.

f(A) = B ise fonksiyon örtendir (surjective). Değer kümesinde görüntüsü olmayan eleman kalmaz.

f(A) ⊂ B ve eşitlik yoksa fonksiyon içinedir.

Örtenlik değer kümesinin seçimine bağlıdır. f(x) = x² fonksiyonu R'den R'ye örten değildir. Aynı kural R'den [0, ∞) kümesine örtendir.

Bire bir fonksiyon, birim fonksiyon, eşit fonksiyonlar

Farklı elemanları farklı elemanlara eşleyen fonksiyon bire birdir (injective).

Ölçüt şudur:

f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

Grafik ölçütü: yatay doğru testi. Herhangi bir yatay doğru grafiği en çok bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir.

Hem bire bir hem örten fonksiyona bijektif fonksiyon denir. Yalnız bu fonksiyonların tersi vardır.

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. I(x) = x biçimindedir.

İki fonksiyon eşittir denmesi için tanım kümeleri aynı olmalı ve her noktada aynı değeri almalıdır. Kural aynı, tanım kümesi farklı ise fonksiyonlar eşit değildir.

Fonksiyonlarda dört işlem

f ve g fonksiyonlarının toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü noktasal olarak tanımlanır:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x),   g(x) ≠ 0

Toplam, fark ve çarpımın tanım kümesi iki tanım kümesinin kesişimidir. Bölümde ek olarak g'nin sıfır olduğu noktalar çıkarılır.

Bileşke fonksiyon

f fonksiyonunun çıktısı g fonksiyonuna girdi olarak verilirse bileşke fonksiyon elde edilir:

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

Tanımlı olması için f(x) değerinin g'nin tanım kümesinde bulunması gerekir.

Bileşke işlemi genelde değişmeli değildir. g ∘ f ile f ∘ g farklı fonksiyonlardır.

Bileşke birleşmelidir: (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f).

Ters fonksiyon

f bijektif ise her y görüntüsüne karşılık gelen tek bir x vardır. Bu eşlemeyi veren fonksiyona ters fonksiyon denir ve f⁻¹ ile gösterilir.

Temel bağıntılar şunlardır:

f⁻¹(f(x)) = x
f(f⁻¹(y)) = y

Ters fonksiyonun tanım kümesi, f'nin görüntü kümesidir.

Pratik yöntem: y = f(x) denkleminde x çekilir, sonra x ile y adları değiştirilir.

Grafik özelliği: f ve f⁻¹ grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Bire bir olmayan bir fonksiyonun tersi, tanım kümesi daraltılarak elde edilir. sin fonksiyonunun tersi [−π/2, π/2] aralığında tanımlanır.

Fonksiyonun grafiği

f fonksiyonunun grafiği, (x, f(x)) sıralı ikililerinin düzlemdeki kümesidir.

Düşey doğru testi geçerlidir. Bir eğri fonksiyon grafiği ise her düşey doğru eğriyi en çok bir noktada keser.

Çift ve tek fonksiyonlar

Tanım kümesi orijine göre simetrik olsun.

Her x için f(−x) = f(x) ise fonksiyon çifttir. Grafiği y eksenine göre simetriktir.

Her x için f(−x) = −f(x) ise fonksiyon tektir. Grafiği orijine göre simetriktir.

Fonksiyonların çoğu ne çift ne tektir.

İşlem kuralları:

• Çift ile çiftin toplamı çifttir. Tek ile tekin toplamı tektir.
• Çift ile çiftin çarpımı çifttir. Tek ile tekin çarpımı çifttir. Çift ile tekin çarpımı tektir.
• Tek fonksiyonun tanım kümesinde sıfır varsa f(0) = 0 olmak zorundadır.

Tanım kümesi simetrik olan her fonksiyon bir çift ve bir tek fonksiyonun toplamı olarak yazılabilir:

f(x) = [f(x) + f(−x)]/2 + [f(x) − f(−x)]/2

Sınırlı ve sınırsız fonksiyonlar

Her x için f(x) ≤ M sağlanıyorsa fonksiyon üstten sınırlıdır. M bir üst sınırdır.

Her x için f(x) ≥ m sağlanıyorsa fonksiyon alttan sınırlıdır.

Hem alttan hem üstten sınırlı fonksiyona sınırlı denir. Buna denk koşul, bir K sayısı için |f(x)| ≤ K sağlanmasıdır.

sin ve cos fonksiyonları R üzerinde sınırlıdır. tan fonksiyonu sınırsızdır.

Sınırlılık tanım kümesine bağlıdır. f(x) = 1/x fonksiyonu (0, 1) aralığında sınırsız, [1, ∞) aralığında sınırlıdır.

Maksimum, minimum, supremum ve infimum

Fonksiyon değerler kümesinin en küçük üst sınırına supremum, en büyük alt sınırına infimum denir.

Supremum fonksiyonun bir değeri olarak alınıyorsa maksimum adını alır. Infimum bir değer olarak alınıyorsa minimumdur.

Ayrım önemlidir. Sınırlı bir fonksiyonun supremumu her zaman vardır. Maksimumu olmayabilir.

Örnek: f(x) = x fonksiyonu [0, 1) aralığında supremumu 1'dir. Maksimumu yoktur.

Monoton fonksiyonlar

x₁ < x₂ için f(x₁) ≤ f(x₂) ise fonksiyon artandır. Eşitlik olmadan sağlanıyorsa kesin artandır.

x₁ < x₂ için f(x₁) ≥ f(x₂) ise fonksiyon azalandır. Eşitlik olmadan sağlanıyorsa kesin azalandır.

Bu dört durumdan birini sağlayan fonksiyona monoton denir.

Kesin monoton fonksiyon bire birdir. Tersi doğru değildir; bire bir olan her fonksiyon monoton olmak zorunda değildir.

Kesin monoton bir fonksiyonun tersi vardır ve aynı yönde kesin monotondur.

Periyodik fonksiyonlar

Her x için f(x + T) = f(x) sağlayan bir T > 0 varsa fonksiyon periyodiktir. Bu koşulu sağlayan en küçük pozitif T sayısına esas periyot denir.

sin ve cos fonksiyonlarının esas periyodu 2π'dir. tan ve cot fonksiyonlarının esas periyodu π'dir.

f(x) fonksiyonunun periyodu T ise f(ax + b) fonksiyonunun periyodu T/|a| olur.

Sabit fonksiyon periyodiktir. Esas periyodu yoktur, çünkü her pozitif sayı periyot olur.

Mutlak değer ve işaret fonksiyonu

Mutlak değer fonksiyonu şöyle tanımlanır:

|x| = x,   x ≥ 0
|x| = −x,  x < 0

Çift fonksiyondur. Her yerde sürekli, sıfırda türevlenemezdir.

İşaret fonksiyonu üç değer alır:

sgn(x) = 1,   x > 0
sgn(x) = 0,   x = 0
sgn(x) = −1,  x < 0

Sıfırda sıçrama süreksizliği vardır.

Aralarındaki bağıntı: |x| = x · sgn(x).

Tam değer fonksiyonu ⌊x⌋, x'i aşmayan en büyük tam sayıdır. Her tam sayı noktasında sıçrama süreksizliği gösterir.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

Tanım kümesi R, görüntü kümesi (0, ∞) aralığıdır. Değer hiçbir zaman sıfır ya da negatif olmaz.

a > 1 ise kesin artandır. 0 < a < 1 ise kesin azalandır.

Üstel fonksiyon bire bir olduğundan tersi vardır. Bu ters fonksiyona logaritma denir:

y = aˣ  ⟺  x = logₐ y

Logaritmanın tanım kümesi (0, ∞), görüntü kümesi R'dir.

Temel kurallar:

logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y
logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y
logₐ(xⁿ) = n · logₐ x
logₐ x = (log_b x) / (log_b a)

Taban e = 2,71828... alındığında doğal logaritma elde edilir ve ln x yazılır.

Hiperbolik fonksiyonlar ve tersleri

Hiperbolik fonksiyonlar üstel fonksiyonlarla tanımlanır:

sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2
cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2
tanh x = sinh x / cosh x
coth x = cosh x / sinh x

sinh tek, cosh çift fonksiyondur.

Temel özdeşlik trigonometrik karşılığından işaret bakımından ayrılır:

cosh²x − sinh²x = 1

Ters hiperbolik fonksiyonlar logaritma ile kapalı biçimde yazılır:

arcsinh x = ln(x + √(x² + 1))
arccosh x = ln(x + √(x² − 1)),   x ≥ 1
arctanh x = (1/2) · ln((1 + x)/(1 − x)),   |x| < 1

Kuvvet fonksiyonu ve polinomlar

f(x) = xⁿ biçimindeki fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir.

n çift ise fonksiyon çifttir. n tek ise fonksiyon tektir.

Polinom fonksiyonu kuvvet fonksiyonlarının sonlu doğrusal birleşimidir:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

İki polinomun toplamı ve çarpımı yine polinomdur. Bölümü genelde polinom değildir; rasyonel fonksiyon elde edilir.

Rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfırlayan noktalar çıkarılarak bulunur.

Eğri çiziminde temel dönüşümler

y = f(x) grafiği bilindiğinde türetilmiş grafikler çizim yapılmadan elde edilir.

• y = −f(x): grafik x eksenine göre yansıtılır.
• y = f(−x): grafik y eksenine göre yansıtılır.
• y = f(x − p): grafik x ekseni boyunca p birim ötelenir. p > 0 ise sağa kayar.
• y = f(x) + k: grafik y ekseni boyunca k birim ötelenir. k > 0 ise yukarı kayar.
• y = c · f(x): grafik y yönünde c katsayısıyla ölçeklenir. |c| > 1 ise gerilir, |c| < 1 ise sıkışır.
• y = f(2p − x): grafik x = p düşey doğrusuna göre yansıtılır.

Dönüşümler birleştirilebilir. Sıra önemlidir; öteleme ile ölçeklemenin yeri değiştirilirse sonuç değişir.

Ünite 2: Bir Fonksiyonun Limiti

Limit kavramı

Limit, fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken hangi değere yaklaştığını inceler.

İncelenen noktada fonksiyonun tanımlı olması gerekmez. Önemli olan noktanın komşuluğundaki davranıştır.

Bu ayrım limitin çekirdeğidir. f(a) değeri ile x → a limiti birbirinden bağımsız iki büyüklüktür.

Epsilon delta tanımı

L sayısı f fonksiyonunun a noktasındaki limitidir denmesi şu anlama gelir:

∀ε > 0  ∃δ > 0 :  0 < |x − a| < δ  ⟹  |f(x) − L| < ε

Gösterim: lim(x→a) f(x) = L.

Tanımın okunuşu şudur. İstenen hata payı ε önce verilir. Buna karşılık gelen δ yarıçapı sonra bulunur. δ genelde ε'a bağlıdır.

0 < |x − a| koşulu, x = a noktasını dışarıda bırakır.

Limit varsa tektir. Bu, tanımın doğrudan sonucudur.

Sağdan ve soldan limit

Yaklaşma iki yönden yapılabilir.

Sağdan limit x > a alınarak tanımlanır ve lim(x→a⁺) f(x) ile gösterilir. Soldan limit x < a alınarak tanımlanır.

Temel teorem şudur:

lim(x→a) f(x) = L  ⟺  lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x) = L

İki tek yönlü limit farklı ise limit yoktur.

Bu ölçüt, parçalı tanımlı fonksiyonlarda ve tam değer, işaret gibi sıçramalı fonksiyonlarda kullanılır.

Sonlu noktada sonsuz limit ve düşey asimptot

x, a noktasına yaklaşırken f(x) değerleri her sınırı aşıyorsa limit sonsuzdur denir:

lim(x→a) f(x) = ∞

Bu gösterim limitin var olduğu anlamına gelmez. Fonksiyonun sınırsız büyüdüğünü belirtir.

Bu durumda x = a doğrusu düşey asimptottur.

Rasyonel fonksiyonda düşey asimptot, payda sıfırlanıp pay sıfırlanmadığı noktalarda oluşur.

Sonsuzda limit ve yatay asimptot

x sınırsız büyürken f(x) bir L değerine yaklaşıyorsa:

lim(x→∞) f(x) = L

Bu durumda y = L doğrusu yatay asimptottur.

Rasyonel fonksiyonlarda sonuç derecelere bağlıdır. Pay derecesi küçükse limit sıfırdır. Dereceler eşitse limit baş katsayıların oranıdır. Pay derecesi büyükse limit sonsuzdur.

Pay derecesi paydadan tam bir fazla ise eğik asimptot vardır. Denklemi, bölme işleminin bölüm kısmıdır.

Limitin özellikleri

Limitleri var olan f ve g fonksiyonları için:

lim (f ± g) = lim f ± lim g
lim (f · g) = lim f · lim g
lim (f / g) = lim f / lim g,   lim g ≠ 0
lim (c · f) = c · lim f

Sıralama korunur. Bir komşulukta f(x) ≤ g(x) ise limitler arasında da lim f ≤ lim g bağıntısı geçerlidir.

Sıkıştırma teoremi: bir komşulukta g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) olsun. g ve h aynı L limitine sahipse f fonksiyonunun limiti de L'dir.

Sıkıştırma teoremi, doğrudan hesaplanamayan limitlerde kullanılır. x · sin(1/x) ifadesinin sıfırdaki limiti bu yolla bulunur.

Limiti olan bir fonksiyon, limit noktasının bir komşuluğunda sınırlıdır.

Monoton fonksiyonun limiti

Monoton ve sınırlı bir fonksiyonun tek yönlü limitleri her zaman vardır.

Artan ve üstten sınırlı bir fonksiyon için soldan limit, o aralıktaki değerlerin supremumuna eşittir.

Bu sonuç reel sayıların tamlık özelliğine dayanır. Monoton fonksiyonun süreksizlikleri yalnız sıçrama türünden olabilir.

Trigonometrik limitler

Temel limit şudur:

lim(x→0) (sin x)/x = 1

x radyan cinsindendir. Derece kullanılırsa sonuç değişir.

Bundan türeyen limitler:

lim(x→0) (tan x)/x = 1
lim(x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2
lim(x→0) (arcsin x)/x = 1

Üstel ve logaritmik karşılıkları:

lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e
lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e

Belirsizlik biçimleri

Doğrudan yerine koyma bazı ifadelerde sonuç vermez. Yedi belirsizlik biçimi vardır:

0/0    ∞/∞    0 · ∞    ∞ − ∞    1^∞    0⁰    ∞⁰

Belirsizlik, limitin olmadığı anlamına gelmez. Yöntem değiştirilmelidir.

Kullanılan teknikler: çarpanlara ayırma, eşleniğiyle genişletme, ortak paranteze alma, değişken dönüşümü, bilinen temel limitlere indirgeme.

Türev konusundan sonra L'Hôpital kuralı da kullanılır.

Bazı limit alma kuralları

Sabit fonksiyonun limiti kendisidir.

Polinom fonksiyonlarda limit doğrudan yerine koyma ile bulunur.

Rasyonel fonksiyonda payda sıfırlanmıyorsa yerine koyma yeterlidir.

Kök ifadelerde, kökün derecesi tek ise negatif değerler için de limit tanımlıdır. Çift dereceli kökte kök içi bir komşulukta negatif olmamalıdır.

Bileşke fonksiyonda, dış fonksiyon iç fonksiyonun limit değerinde sürekli ise limit içeri taşınabilir:

lim(x→a) g(f(x)) = g(lim(x→a) f(x))

Ünite 3: Sürekli Fonksiyonlar

Süreklilik kavramı

f fonksiyonu a noktasında süreklidir denmesi için üç koşul birlikte sağlanmalıdır:

1. f(a) tanımlı olmalıdır.
2. lim(x→a) f(x) limiti var olmalıdır.
3. Bu iki değer eşit olmalıdır.

Kısaca:

lim(x→a) f(x) = f(a)

Süreklilik ile limit arasındaki fark buradadır. Limitte f(a) değeri hesaba katılmaz. Süreklilikte doğrudan devreye girer.

Bir fonksiyon bir aralığın her noktasında sürekli ise o aralıkta süreklidir denir.

Sürekliliğin artım tanımı

İkinci tanım artımlar üzerinden kurulur.

Bağımsız değişkenin artımı Δx, fonksiyonun artımı Δy = f(a + Δx) − f(a) olsun.

Süreklilik koşulu şu biçimi alır:

lim(Δx→0) Δy = 0

Okunuşu şudur. Bağımsız değişkendeki küçük değişim, fonksiyon değerinde küçük değişim üretir.

Bu tanım epsilon delta tanımına denktir. Uygulamada daha kullanışlıdır.

Sağdan ve soldan süreklilik

lim(x→a⁺) f(x) = f(a) ise fonksiyon a noktasında sağdan süreklidir.

lim(x→a⁻) f(x) = f(a) ise soldan süreklidir.

Bir noktada süreklilik, hem sağdan hem soldan sürekliliğe denktir.

Kapalı aralıkta süreklilik incelenirken uç noktalarda yalnız tek yönlü süreklilik aranır.

Birinci ve ikinci türden süreksizlikler

Fonksiyon a noktasında sürekli değilse a bir süreksizlik noktasıdır.

Birinci türden süreksizlik: her iki tek yönlü limit sonlu olarak vardır.

Bu tür iki alt duruma ayrılır. Limitler eşit fakat f(a) farklı ya da tanımsız ise süreksizlik kaldırılabilirdir. Fonksiyon o noktada yeniden tanımlanarak sürekli hale getirilir. Limitler farklı ise sıçrama süreksizliği vardır. Aradaki farka sıçrama miktarı denir.

İkinci türden süreksizlik: tek yönlü limitlerden en az biri yoktur ya da sonsuzdur.

Örnekler: sin(1/x) fonksiyonu sıfırda salınım nedeniyle, 1/x fonksiyonu sıfırda sonsuza gitmesi nedeniyle ikinci türden süreksizdir.

Sürekli fonksiyonların özellikleri

a noktasında sürekli iki fonksiyonun toplamı, farkı ve çarpımı aynı noktada süreklidir. Payda sıfır değilse bölümü de süreklidir.

Bileşke süreklidir. f fonksiyonu a'da, g fonksiyonu f(a)'da sürekli ise g ∘ f bileşkesi a'da süreklidir.

Bir noktada sürekli ve o noktada sıfırdan farklı bir fonksiyon, noktanın bir komşuluğunda işaretini korur. Bu özellik işaret incelemesinin dayanağıdır.

Elemanter fonksiyonlar tanım kümelerinin her noktasında süreklidir. Polinomlar, rasyonel fonksiyonlar, kök fonksiyonları, trigonometrik, üstel, logaritmik ve hiperbolik fonksiyonlar bu sınıftadır.

Kapalı aralıkta sürekli fonksiyonlar

Kapalı ve sınırlı [a, b] aralığında süreklilik güçlü sonuçlar üretir. Bu sonuçların hiçbiri açık aralıkta geçerli değildir.

Sınırlılık teoremi: [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır.

Weierstrass teoremi: [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerini bu aralıkta alır. Supremum ve infimum birer fonksiyon değeridir.

Bolzano teoremi: f(a) ile f(b) ters işaretli ise (a, b) aralığında f(c) = 0 sağlayan en az bir c noktası vardır.

Ara değer teoremi: f(a) ile f(b) arasındaki her k değeri için f(c) = k sağlayan en az bir c ∈ (a, b) noktası vardır.

Ara değer teoremi kök varlığının ispatında ve sayısal kök bulma yöntemlerinde kullanılır. Kökün yerini vermez, varlığını verir.

Cantor teoremi: [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon bu aralıkta düzgün süreklidir. Düzgün süreklilikte δ yalnız ε'a bağlıdır, noktadan bağımsızdır.

Kapalılık koşulu vazgeçilmezdir. f(x) = 1/x fonksiyonu (0, 1] aralığında süreklidir, sınırlı değildir.

Ünite 4: Türev ve Diferansiyel

Türev kavramı

f fonksiyonunun a noktasındaki türevi şu limittir:

f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h

Denk yazım:

f'(a) = lim(x→a) [f(x) − f(a)] / (x − a)

Limit varsa ve sonlu ise fonksiyon a noktasında türevlenebilirdir.

Türev, ortalama değişim hızının limitidir. Anlık değişim hızını verir.

Gösterimler: f'(x), dy/dx, df/dx, Df.

Türevlenebilirlik ve süreklilik

Türevlenebilir her fonksiyon süreklidir.

Karşıtı doğru değildir. Süreklilik türevlenebilirliği gerektirmez.

Standart karşı örnek f(x) = |x| fonksiyonudur. Sıfırda süreklidir. Sağdan türev 1, soldan türev −1 olduğundan türev yoktur.

Türevin var olmadığı üç tipik durum: köşe noktası, düşey teğet, süreksizlik.

Türevin geometrik anlamı

f'(a) sayısı, grafiğe (a, f(a)) noktasında çizilen teğetin eğimidir.

Teğet doğrusunun denklemi:

y − f(a) = f'(a) · (x − a)

Normal doğrusu teğete diktir. Eğimi −1/f'(a) olur.

Türev sıfırsa teğet yataydır. Türev sonsuz ise teğet düşeydir.

Türevin fiziksel anlamı

Konum fonksiyonunun zamana göre türevi hızdır. Hızın türevi ivmedir.

Genel olarak türev, bir büyüklüğün başka bir büyüklüğe göre değişim oranıdır.

Bir taraflı ve sonsuz türevler

Sağdan türev, limitin h → 0⁺ ile alınmasıyla tanımlanır. Soldan türev h → 0⁻ ile tanımlanır.

Türevin var olması, iki tek taraflı türevin var ve eşit olmasına denktir.

Limit sonsuz ise sonsuz türev söz konusudur. Fonksiyon o noktada türevlenebilir sayılmaz. Grafikte düşey teğet görülür.

Fonksiyonun diferansiyeli

Türevlenebilir bir fonksiyonun artımı şöyle ayrıştırılır:

Δy = f'(x) · Δx + ε · Δx,   Δx → 0 iken ε → 0

Birinci terim artımın doğrusal kısmıdır. Buna diferansiyel denir:

dy = f'(x) · dx

Diferansiyel, fonksiyon artımının doğrusal yaklaşımıdır. Küçük Δx değerleri için Δy ≈ dy alınır.

Bu yaklaşım hata hesabında kullanılır. Ölçüm hatasının fonksiyon değerine etkisi diferansiyelle kestirilir.

dy/dx gösteriminin oran olarak yorumlanabilmesi bu tanıma dayanır.

Temel türev kuralları

(c)' = 0
(x)' = 1
(c · f)' = c · f'
(f ± g)' = f' ± g'
(f · g)' = f'·g + f·g'
(f / g)' = (f'·g − f·g') / g²

Çarpım kuralı ikiden çok çarpana genişletilir. Her terimde yalnız bir çarpanın türevi alınır.

Bileşke fonksiyonun türevi

Zincir kuralı bileşke fonksiyonun türevini verir:

(g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x)

Leibniz gösterimiyle:

dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

Kural iç içe bileşkelerde art arda uygulanır. Türev, en dıştan başlayarak içe doğru çarpılır.

Ters fonksiyonun türevi

f bire bir ve türevlenebilir olsun. f'(x) ≠ 0 ise ters fonksiyon türevlenebilirdir:

(f⁻¹)'(y) = 1 / f'(x),   y = f(x)

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri bu kuralla elde edilir.

Elemanter fonksiyonların türevleri

(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹
(eˣ)' = eˣ
(aˣ)' = aˣ · ln a
(ln x)' = 1/x
(logₐ x)' = 1 / (x · ln a)
(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
(tan x)' = 1/cos²x
(cot x)' = −1/sin²x
(arcsin x)' = 1/√(1 − x²)
(arccos x)' = −1/√(1 − x²)
(arctan x)' = 1/(1 + x²)
(sinh x)' = cosh x
(cosh x)' = sinh x
(tanh x)' = 1/cosh²x

Logaritmik türev

Değişken üssü içeren ve çok çarpanlı ifadelerde logaritmik türev kullanılır.

İki tarafın doğal logaritması alınır. Sonra kapalı türev uygulanır:

y = u(x)^v(x)
ln y = v(x) · ln u(x)
y'/y = v'·ln u + v·(u'/u)

Bu yöntem olmadan xˣ gibi ifadelerin türevi alınamaz. Ne kuvvet kuralı ne üstel kural doğrudan uygulanır.

Kapalı fonksiyonun türevi

F(x, y) = 0 biçiminde verilen bağıntıda y açıkça çekilemeyebilir.

Bu durumda eşitliğin iki tarafı x'e göre türetilir. y terimlerinin türevinde zincir kuralı gereği y' çarpanı ortaya çıkar. Sonra y' yalnız bırakılır.

Parametrik fonksiyonun türevi

x = φ(t) ve y = ψ(t) verilsin. Türev şudur:

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = ψ'(t) / φ'(t),   φ'(t) ≠ 0

İkinci türev doğrudan bölümle bulunmaz. Birinci türevin t'ye göre türevi yeniden dx/dt değerine bölünür:

d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] / (dx/dt)

Yüksek mertebeden türevler

Türevin türevine ikinci türev denir. İşlem yinelenerek n. mertebeden türev tanımlanır.

Gösterim: f''(x), f'''(x), f⁽ⁿ⁾(x).

İkinci türev, birinci türevin değişim hızıdır. Geometrik karşılığı eğriliğin yönüdür.

Çarpımın n. türevi Leibniz formülüyle verilir:

(u·v)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n,k) · u⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ · v⁽ᵏ⁾

Katsayılar binom katsayılarıdır.

Fermat teoremi ve lokal ekstremum

Bir noktanın komşuluğundaki tüm değerlerden büyük fonksiyon değerine lokal maksimum, küçük olanına lokal minimum denir.

Fermat teoremi: f fonksiyonunun iç noktada lokal ekstremumu varsa ve türev bu noktada varsa türev sıfırdır.

Türevin sıfır olduğu ya da tanımsız olduğu noktalara kritik nokta denir.

Teorem tek yönlüdür. Her kritik nokta ekstremum değildir. f(x) = x³ fonksiyonunda sıfır kritik noktadır, ekstremum değildir.

Rolle teoremi

Koşullar: f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli, (a, b) aralığında türevlenebilir ve f(a) = f(b) olsun.

Sonuç: f'(c) = 0 sağlayan en az bir c ∈ (a, b) noktası vardır.

Geometrik anlamı, eğri üzerinde yatay teğetin varlığıdır.

Koşullardan biri düşerse sonuç bozulur. Bu, teoremi anlamanın en hızlı yoludur.

Ortalama değer teoremi

Lagrange teoremi Rolle teoreminin genellemesidir. f(a) = f(b) koşulu kaldırılır.

f(b) − f(a) = f'(c) · (b − a),   c ∈ (a, b)

Geometrik anlamı şudur. Kirişe paralel bir teğet vardır.

Sonuçları güçlüdür. Türevi her yerde sıfır olan fonksiyon sabittir. Türevleri eşit olan iki fonksiyon sabit farkla ayrılır.

Genelleştirilmiş ortalama değer teoremi

Cauchy teoremi iki fonksiyonu birlikte ele alır:

[f(b) − f(a)] · g'(c) = [g(b) − g(a)] · f'(c)

g(x) = x seçilirse Lagrange teoremi elde edilir.

Bu teorem L'Hôpital kuralının ispat dayanağıdır.

Taylor formülü

n kez türevlenebilir bir fonksiyon, a noktası civarında polinomla yaklaşılır:

f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n! + Rₙ(x)

Rₙ terimine kalan terim denir. Lagrange biçimi:

Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) · (x−a)ⁿ⁺¹ / (n+1)!,   ξ ∈ (a, x)

a = 0 alınırsa formül Maclaurin formülü adını alır.

Sık kullanılan açılımlar:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − ...
(1+x)ᵅ = 1 + αx + α(α−1)x²/2! + ...

Taylor formülü yaklaşık hesabın temelidir. Kalan terim, yaklaşımın hatasını sınırlar.

Belirsizlik durumları ve L'Hôpital kuralı

0/0 ya da ∞/∞ biçimindeki belirsizliklerde:

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

Kural, sağdaki limit var olduğunda geçerlidir. Sağdaki limit yoksa soldaki limit yok anlamına gelmez.

Kural gerektiğinde yinelenir. Her adımda belirsizliğin sürdüğü doğrulanmalıdır.

Diğer belirsizlikler önce bu iki biçime dönüştürülür. 0 · ∞ çarpımı bölüm haline getirilir. 1^∞, 0⁰ ve ∞⁰ biçimlerinde logaritma alınır.

Sabitlik ve monotonluk testleri

Bir aralıkta f'(x) = 0 ise fonksiyon o aralıkta sabittir.

Bir aralıkta f'(x) > 0 ise fonksiyon kesin artandır. f'(x) < 0 ise kesin azalandır.

Koşul yeterlidir, gerekli değildir. f(x) = x³ fonksiyonu kesin artandır, türevi sıfırda sıfırdır.

Kesin artanlık için türevin negatif olmaması ve hiçbir alt aralıkta özdeş sıfır olmaması yeterlidir.

Ekstremum testleri

Birinci türev testi: kritik noktada türevin işareti artıdan eksiye dönüyorsa lokal maksimum, eksiden artıya dönüyorsa lokal minimum vardır. İşaret değişmiyorsa ekstremum yoktur.

İkinci türev testi: f'(c) = 0 olsun. f''(c) < 0 ise lokal maksimum, f''(c) > 0 ise lokal minimum vardır. f''(c) = 0 ise test sonuç vermez.

Kapalı aralıkta mutlak ekstremum aranırken kritik noktalar ve uç noktalar birlikte karşılaştırılır.

Konvekslik, konkavlık ve dönüm noktası

Grafiği her kirişin altında kalan fonksiyona konveks denir. Türev artan olur.

Grafiği her kirişin üstünde kalan fonksiyona konkav denir. Türev azalan olur.

Yeter koşul ikinci türevle verilir:

f''(x) > 0  ⟹  konveks
f''(x) < 0  ⟹  konkav

Konvekslik yönünün değiştiği noktaya dönüm noktası denir. Bu noktada ikinci türev sıfırdır ya da tanımsızdır.

İkinci türevin sıfır olması yeterli değildir. İşaret değişimi de aranır. f(x) = x⁴ fonksiyonunda sıfır noktası dönüm noktası değildir.

Eğri çiziminde izlenecek yol

Sıralı yordam şudur:

1. Tanım kümesi belirlenir.
2. Simetri incelenir. Çift, tek ya da periyodik olup olmadığına bakılır.
3. Eksenleri kesme noktaları bulunur.
4. Asimptotlar araştırılır. Düşey, yatay ve eğik asimptotlar ayrı ayrı incelenir.
5. Birinci türev alınır. Kritik noktalar ve monotonluk aralıkları çıkarılır.
6. İkinci türev alınır. Konvekslik aralıkları ve dönüm noktaları bulunur.
7. Bulgular işaret tablosunda toplanır.
8. Grafik çizilir.

Tablo, çizimden önce doldurulur. Çizim tablodan okunur.

Ünite 5: Belirsiz İntegraller

İlkel fonksiyon

Bir aralıkta F'(x) = f(x) sağlanıyorsa F fonksiyonuna f fonksiyonunun ilkel fonksiyonu denir.

İlkel fonksiyon tek değildir. F(x) + C biçimindeki her fonksiyon da ilkeldir.

Aynı aralıkta iki ilkel fonksiyon yalnız sabit farkla ayrılır. Bu sonuç ortalama değer teoreminden çıkar.

Bir aralıkta sürekli olan her fonksiyonun ilkeli vardır. Varlık, kapalı biçimde yazılabilirlik anlamına gelmez.

Belirsiz integral kavramı

f fonksiyonunun tüm ilkellerinin kümesine belirsiz integral denir:

∫ f(x) dx = F(x) + C

C keyfi sabittir. İntegral sabiti yazılmadan işlem tamamlanmış sayılmaz.

Temel özellikler:

d/dx [∫ f(x) dx] = f(x)
∫ f'(x) dx = f(x) + C
∫ c·f(x) dx = c · ∫ f(x) dx
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Çarpım ve bölüm için benzer kural yoktur. Türevdeki çarpım kuralının integraldeki karşılığı kısmî integrasyondur.

Temel integral formülleri

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C,   n ≠ −1
∫ dx/x = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ dx/cos²x = tan x + C
∫ dx/sin²x = −cot x + C
∫ dx/(1+x²) = arctan x + C
∫ dx/√(1−x²) = arcsin x + C
∫ dx/(x²−a²) = (1/2a)·ln|(x−a)/(x+a)| + C
∫ dx/√(x²±a²) = ln|x + √(x²±a²)| + C

Mutlak değer, 1/x integralinde zorunludur. Tanım kümesi negatif değerleri de içerir.

Değişken dönüşümü

u = φ(x) dönüşümüyle integral daha basit biçime indirgenir:

∫ f(φ(x)) · φ'(x) dx = ∫ f(u) du

Dönüşümde diferansiyel de dönüştürülür. du = φ'(x) dx eşitliği unutulmamalıdır.

Sonuç, özgün değişkene geri çevrilir. Belirsiz integralde geri dönüş zorunludur.

Sık kullanılan biçim:

∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C

Kısmî integrasyon

Çarpımın türev kuralından türetilir:

∫ u dv = u·v − ∫ v du

Yöntem, integrali daha kolay bir integrale indirger. İndirgeme sağlanmıyorsa u ve dv seçimi hatalıdır.

Seçimde yaygın öncelik sırası şudur: ters trigonometrik, logaritmik, cebirsel, trigonometrik, üstel. u bu sırada önce gelen olarak seçilir.

Uygulama alanları: polinom ile üstel çarpımı, polinom ile trigonometrik çarpımı, logaritmik ve ters trigonometrik fonksiyonların tek başına integrali.

Bazı integrallerde yöntem iki kez uygulanınca başlangıçtaki integral geri döner. Denklem çözülerek sonuç bulunur. e^x·sin x integrali bu türdendir.

Rasyonel fonksiyonların integrasyonu

P(x)/Q(x) biçimindeki fonksiyonlarda yordam sabittir.

1. Pay derecesi paydadan küçük değilse bölme yapılır. Polinom kısmı ayrılır.
2. Payda çarpanlara ayrılır. Reel çarpanlar doğrusal ve indirgenemez ikinci derece terimlerden oluşur.
3. Kalan kesir basit kesirlere ayrılır.
4. Her basit kesir ayrı ayrı integre edilir.

Basit kesir biçimleri:

A/(x−a)
A/(x−a)ᵏ
(Ax+B)/(x²+px+q)
(Ax+B)/(x²+px+q)ᵏ

Katsayılar, paydaları eşitleyip özdeşlik kurularak bulunur. İki yöntem kullanılır: katsayıları eşitleme ve kökleri yerine koyma.

İkinci derece paydalarda kare tamamlama yapılır. İntegral arctan ya da logaritma biçimine indirgenir.

Her rasyonel fonksiyonun ilkeli elemanterdir. Sonuç rasyonel fonksiyon, logaritma ve arctan terimlerinden oluşur.

Binom integralleri

Biçim şudur:

∫ xᵐ (a + bxⁿ)ᵖ dx

m, n, p rasyonel sayılardır. Chebyshev sonucuna göre integral yalnız üç durumda elemanter fonksiyonlarla ifade edilir:

1. p tam sayı ise. Binom açılır.
2. (m+1)/n tam sayı ise. a + bxⁿ = tˢ dönüşümü yapılır. s, p'nin paydasıdır.
3. (m+1)/n + p tam sayı ise. ax⁻ⁿ + b = tˢ dönüşümü yapılır.

Bu üç durum dışında ilkel elemanter değildir.

Trigonometrik fonksiyonların integrasyonu

sin ve cos kuvvetlerinde kuvvetin tekliği ve çiftliği yöntemi belirler.

Tek kuvvet varsa bir çarpan ayrılır ve dönüşüm yapılır:

∫ sinᵐx · cosⁿx dx

n tek ise cos x dx = d(sin x) alınır ve u = sin x konur. m tek ise u = cos x konur.

Her iki kuvvet de çift ise yarım açı formülleri kullanılır:

sin²x = (1 − cos 2x)/2
cos²x = (1 + cos 2x)/2

Çarpımlar toplama dönüştürülür:

sin ax · cos bx = [sin(a+b)x + sin(a−b)x]/2
sin ax · sin bx = [cos(a−b)x − cos(a+b)x]/2
cos ax · cos bx = [cos(a+b)x + cos(a−b)x]/2

Genel durumda yarım açı dönüşümü her trigonometrik rasyonel ifadeyi rasyonel fonksiyona çevirir:

t = tan(x/2)
sin x = 2t/(1+t²)
cos x = (1−t²)/(1+t²)
dx = 2dt/(1+t²)

Bu dönüşüm her zaman işe yarar. Genelde en uzun hesabı üretir. Özel durumlar önce denenir.

İfade sin x ve cos x'e göre çift ise t = tan x dönüşümü daha kısadır.

İrrasyonel fonksiyonların integrasyonu

Kök içeren ifadelerde amaç, kökten kurtulmaktır.

Doğrusal kök: √(ax+b) ifadesinde ax + b = tⁿ dönüşümü yapılır. n, kök dereceleri için ortak kattır.

Kesirli doğrusal kök: √((ax+b)/(cx+d)) ifadesinde kök içinin tümü tⁿ alınır.

İkinci derece kökte önce kare tamamlanır. Sonra trigonometrik ya da hiperbolik dönüşüm uygulanır:

√(a² − x²)  →  x = a·sin t
√(a² + x²)  →  x = a·tan t   veya   x = a·sinh t
√(x² − a²)  →  x = a/cos t   veya   x = a·cosh t

Euler dönüşümleri genel çözümdür. √(ax² + bx + c) ifadesi için üç dönüşüm tanımlıdır ve en az biri her zaman uygulanabilir.

İlkeli elemanter olmayan integraller

Bazı sürekli fonksiyonların ilkeli vardır, fakat elemanter fonksiyonlarla yazılamaz.

Bilinen örnekler:

∫ e^(−x²) dx
∫ sin x / x dx
∫ dx / ln x
∫ √(1 − k²sin²x) dx

Bu integraller özel fonksiyonlarla adlandırılır. Hesapları sayısal yöntemlerle yapılır.

Bir integralin çözülememesi yöntem eksikliği anlamına gelmeyebilir. Sonucun elemanter olmadığı ispatlanmış olabilir.

Ünite 6: Belirli İntegraller

Aralığın parçalanması

[a, b] aralığı sonlu sayıda noktayla bölünür:

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < xₙ = b

Bu ayrışıma parçalanma denir. Alt aralık uzunlukları Δxᵢ = xᵢ − xᵢ₋₁ ile gösterilir.

En büyük alt aralık uzunluğuna parçalanmanın normu denir. λ ile gösterilir.

Norm sıfıra giderken alt aralık sayısı sonsuza gider. Tersi doğru değildir.

Riemann toplamı ve belirli integral

Her alt aralıktan bir ξᵢ noktası seçilir. Riemann toplamı şudur:

S = Σ f(ξᵢ) · Δxᵢ

Norm sıfıra giderken bu toplam, parçalanmadan ve ξᵢ seçiminden bağımsız tek bir limite yakınsıyorsa fonksiyon integrallenebilirdir:

∫[a,b] f(x) dx = lim(λ→0) Σ f(ξᵢ) · Δxᵢ

Bağımsızlık koşulu tanımın çekirdeğidir. Belirli bir seçimle limitin var olması yeterli değildir.

Belirli integral bir sayıdır. Belirsiz integral bir fonksiyon ailesidir. İkisi farklı nesnelerdir.

Alt ve üst Darboux toplamları

Her alt aralıkta fonksiyonun infimumu mᵢ, supremumu Mᵢ olsun.

s = Σ mᵢ · Δxᵢ    (alt Darboux toplamı)
S = Σ Mᵢ · Δxᵢ    (üst Darboux toplamı)

Temel özellikler:

1. Her parçalanma için s ≤ S sağlanır.
2. Parçalanmaya nokta eklenirse alt toplam azalmaz, üst toplam artmaz.
3. Herhangi bir alt toplam, herhangi bir üst toplamdan büyük olamaz. Parçalanmalar farklı olsa bile geçerlidir.
4. Alt toplamların supremumu ile üst toplamların infimumu vardır. Bunlara alt ve üst integral denir.

Darboux ölçütü: fonksiyon integrallenebilirdir ancak ve ancak alt integral ile üst integral eşitse.

Denk ölçüt şudur: her ε > 0 için S − s < ε sağlayan bir parçalanma bulunmalıdır.

İntegrallenebilirlik için gerek koşul

İntegrallenebilir bir fonksiyon [a, b] aralığında sınırlı olmalıdır.

Koşul gerek olup yeter değildir. Sınırlı her fonksiyon integrallenebilir değildir.

Karşı örnek Dirichlet fonksiyonudur. Rasyonel noktalarda 1, irrasyonel noktalarda 0 değerini alır. Her alt aralıkta infimum 0, supremum 1 kalır. Alt ve üst integraller eşitlenmez.

İntegrallenebilirlik testleri

Aşağıdaki sınıflar [a, b] aralığında integrallenebilirdir:

• Sürekli fonksiyonlar.
• Sınırlı ve sonlu sayıda süreksizliği olan fonksiyonlar.
• Monoton ve sınırlı fonksiyonlar. Süreksizlik sayısı sonsuz olabilir.

Genel ölçüt Lebesgue tarafından verilmiştir. Sınırlı bir fonksiyon, süreksizlik noktalarının kümesi sıfır ölçülü ise integrallenebilirdir.

Belirli integralin özellikleri

∫[a,a] f(x) dx = 0
∫[a,b] f(x) dx = − ∫[b,a] f(x) dx
∫[a,b] [f ± g] dx = ∫[a,b] f dx ± ∫[a,b] g dx
∫[a,b] c·f dx = c · ∫[a,b] f dx
∫[a,b] f dx = ∫[a,c] f dx + ∫[c,b] f dx

Toplanabilirlik özelliği, c noktasının aralık dışında olması durumunda da geçerlidir.

Sıralama korunur. f(x) ≤ g(x) ise integraller arasında da aynı sıralama vardır.

Mutlak değer eşitsizliği:

|∫[a,b] f dx| ≤ ∫[a,b] |f| dx

Sınır kestirimi: m ≤ f(x) ≤ M ise integral m(b−a) ile M(b−a) arasında kalır.

İntegral hesabının ortalama değer teoremi

f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli olsun. Bu durumda:

∫[a,b] f(x) dx = f(c) · (b − a),   c ∈ [a, b]

f(c) değerine fonksiyonun aralıktaki ortalama değeri denir.

Genelleştirilmiş biçimde ikinci bir g fonksiyonu ağırlık olarak kullanılır. g işaret değiştirmiyorsa:

∫[a,b] f(x)·g(x) dx = f(c) · ∫[a,b] g(x) dx

İntegral hesabının temel teoremi

Birinci kısım, integralin türevini verir. f sürekli ise:

F(x) = ∫[a,x] f(t) dt   ⟹   F'(x) = f(x)

Bu sonuç, sürekli her fonksiyonun ilkelinin var olduğunu gösterir. Türev ile integrali birbirinin ters işlemi olarak bağlar.

İkinci kısım hesabı verir. F, f fonksiyonunun herhangi bir ilkeli ise:

∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a)

Bu eşitlik Newton-Leibniz formülüdür. Belirli integral, limit hesabı yapılmadan bulunur.

Değişken sınırlı integralin türevinde zincir kuralı devreye girer:

d/dx ∫[u(x), v(x)] f(t) dt = f(v(x))·v'(x) − f(u(x))·u'(x)

Belirli integralde değişken dönüşümü

x = φ(t) dönüşümünde sınırlar da dönüşür:

∫[a,b] f(x) dx = ∫[α,β] f(φ(t)) · φ'(t) dt

Burada φ(α) = a ve φ(β) = b olmalıdır.

Sınırlar dönüştürüldüğünde eski değişkene geri dönmek gerekmez. Belirsiz integralden ayrılan nokta budur.

Simetri kısayolları:

f tek ve aralık [−a, a] ise integral sıfırdır.
f çift ve aralık [−a, a] ise integral, [0, a] integralinin iki katıdır.

Belirli integralde kısmî integrasyon

∫[a,b] u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫[a,b] v du

Sınır terimi önce hesaplanır. Kalan integral ayrıca ele alınır.

Düzlemsel bölgelerin alanı

f(x) ≥ 0 ise eğri altındaki alan:

A = ∫[a,b] f(x) dx

Fonksiyon işaret değiştiriyorsa alan parçalara ayrılır. Negatif bölgelerde mutlak değer alınır.

İki eğri arasındaki alan:

A = ∫[a,b] [f(x) − g(x)] dx,   f(x) ≥ g(x)

Sınırlar, eğrilerin kesim noktalarıdır. Kesim noktaları önce bulunur.

Bölge y ekseni yönünde daha basit tanımlanıyorsa integral y değişkenine göre kurulur.

Parametrik eğride alan şu formülle hesaplanır:

A = ∫[α,β] y(t) · x'(t) dt

Bir eğrinin yay uzunluğu

Açık biçimde verilen eğri için:

L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Parametrik eğri için:

L = ∫[α,β] √([x'(t)]² + [y'(t)]²) dt

Kutupsal koordinatlarda:

L = ∫[α,β] √(r² + [r'(θ)]²) dθ

Formüller, küçük yay parçasının hipotenüsle yaklaşılmasından çıkar.

Dönel cisimlerin hacmi

Disk yöntemi: eğri x ekseni etrafında döndürülürse

V = π · ∫[a,b] [f(x)]² dx

Halka yöntemi: iki eğri arasındaki bölge döndürülürse

V = π · ∫[a,b] ([f(x)]² − [g(x)]²) dx

Silindirik kabuk yöntemi: y ekseni etrafında döndürmede

V = 2π · ∫[a,b] x · f(x) dx

Yöntem seçimi dönme eksenine göre yapılır. Yanlış seçim hesabı gereksiz uzatır.

Genel durumda kesit alanı bilinen cismin hacmi:

V = ∫[a,b] A(x) dx

Dönel yüzeylerin alanı

x ekseni etrafında döndürmede:

S = 2π · ∫[a,b] f(x) · √(1 + [f'(x)]²) dx

Formül, yay uzunluğu elemanı ile dönme yarıçapının çarpımından gelir. Hacim formülüyle karıştırılmamalıdır; burada kare değil, yay elemanı vardır.

Ağırlık merkezi ve eylemsizlik momenti

Düzgün yoğunluklu düzlemsel bölgenin ağırlık merkezi koordinatları:

x̄ = (1/A) · ∫[a,b] x · f(x) dx
ȳ = (1/A) · ∫[a,b] [f(x)]²/2 dx

A bölgenin alanıdır.

Eylemsizlik momenti, uzaklığın karesiyle ağırlıklandırılmış integraldir:

Iₓ = ∫ y² dm
I_y = ∫ x² dm

Pappus teoremleri ilişkiyi kısaltır. Dönel cismin hacmi, bölge alanı ile ağırlık merkezinin çizdiği yolun çarpımıdır. Dönel yüzeyin alanı, yay uzunluğu ile ağırlık merkezinin çizdiği yolun çarpımıdır.

Belirli integrallerin yaklaşık hesabı

İlkeli elemanter olmayan integrallerde sayısal yöntem kullanılır. [a, b] aralığı n eşit parçaya bölünür ve h = (b−a)/n alınır.

Dikdörtgenler yöntemi: her alt aralıkta fonksiyon sabit kabul edilir. Hata mertebesi O(h) düzeyindedir. Orta nokta seçilirse mertebe O(h²) olur.

Yamuklar yöntemi: fonksiyon her alt aralıkta doğruyla yaklaşılır.

∫ ≈ (h/2) · [y₀ + 2y₁ + 2y₂ + ... + 2yₙ₋₁ + yₙ]

Hata terimi ikinci türevle sınırlanır. Mertebesi O(h²) düzeyindedir.

Simpson yöntemi: fonksiyon ikişer alt aralıkta parabolle yaklaşılır. n çift olmalıdır.

∫ ≈ (h/3) · [y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + ... + 4yₙ₋₁ + yₙ]

Katsayılar uçlarda 1, tek indislerde 4, çift indislerde 2'dir. Hata dördüncü türevle sınırlanır ve mertebesi O(h⁴) düzeyindedir.

Simpson yöntemi üçüncü dereceye kadar olan polinomları tam sonuçla verir. Aynı düğüm sayısında yamuklar yönteminden belirgin biçimde doğrudur.

Ünite 7: Genelleştirilmiş İntegraller

Genelleştirilmiş integral tipleri

Riemann integrali iki koşula dayanır. Aralık sonlu olmalı, fonksiyon sınırlı olmalıdır.

Koşullardan biri düşerse genelleştirilmiş integral söz konusudur.

Birinci tip: integrasyon aralığı sonsuzdur. Fonksiyon sınırlıdır.

∫[a,∞) f(x) dx    ∫(−∞,b] f(x) dx    ∫(−∞,∞) f(x) dx

İkinci tip: aralık sonludur. Fonksiyon aralığın bir noktasında sınırsızdır. Bu noktaya tekil nokta denir.

Her iki koşulun birlikte bozulduğu integraller karma tiptir. Aralık, tekil noktalardan ayrılarak temel tiplere bölünür.

Yakınsaklık ve ıraksaklık

Genelleştirilmiş integral bir limit olarak tanımlanır.

Birinci tip için:

∫[a,∞) f(x) dx = lim(b→∞) ∫[a,b] f(x) dx

İkinci tipte tekil nokta b ise:

∫[a,b] f(x) dx = lim(ε→0⁺) ∫[a,b−ε] f(x) dx

Limit sonlu ise integral yakınsaktır. Limit yoksa ya da sonsuz ise ıraksaktır.

İki uçta birden genelleştirilmiş integral, ara noktadan bölünür. İki parçanın ayrı ayrı yakınsaması aranır. Birinin ıraksaması bütünü ıraksak yapar.

Simetrik limit alınarak elde edilen değere Cauchy esas değeri denir. Esas değerin var olması yakınsaklık anlamına gelmez.

Birinci tip için esas formüller

Referans integral şudur:

∫[1,∞) dx/xᵖ

Bu integral p > 1 ise yakınsak, p ≤ 1 ise ıraksaktır.

Sonuç, karşılaştırma testlerinin dayanağıdır. Ezberlenmesi gereken temel ölçüttür.

Diğer sık kullanılan sonuçlar:

∫[0,∞) e^(−ax) dx = 1/a,   a > 0
∫[0,∞) dx/(1+x²) = π/2
∫[0,∞) e^(−x²) dx = √π/2

Newton-Leibniz formülü geçerlidir. İlkel fonksiyonun sonsuzdaki limiti alınır.

Birinci tip yakınsaklık testleri

Cauchy kriteri: her ε > 0 için, yeterince büyük b₁ ve b₂ değerlerinde iki sınır arasındaki integralin mutlak değeri ε'dan küçük kalmalıdır.

Dizi kriteri: sonsuza giden her aₙ dizisi için kısmî integraller dizisi aynı limite yakınsamalıdır.

Seri kriteri: integralin yakınsaklığı, karşılık gelen serinin yakınsaklığına bağlanır. Azalan pozitif fonksiyonlarda integral testi bu bağı verir.

Karşılaştırma testi: 0 ≤ f(x) ≤ g(x) olsun. g yakınsaksa f de yakınsaktır. f ıraksaksa g de ıraksaktır.

Limit testi: f ve g pozitif olsun.

lim(x→∞) f(x)/g(x) = L

L sonlu ve sıfırdan farklı ise iki integral aynı davranışı gösterir. L = 0 ise g'nin yakınsaklığı f'nin yakınsaklığını verir. L = ∞ ise g'nin ıraksaklığı f'nin ıraksaklığını verir.

Karşılaştırma fonksiyonu genelde 1/xᵖ seçilir.

Mutlak yakınsaklık: |f| integrali yakınsaksa f integrali de yakınsaktır. Tersi doğru değildir. Yakınsak fakat mutlak yakınsak olmayan integrale koşullu yakınsak denir.

Dirichlet testi: f fonksiyonunun kısmî integralleri sınırlı olsun. g monoton azalan ve sonsuzda sıfıra gitsin. Bu durumda f·g çarpımının integrali yakınsaktır.

Abel testi: f integrali yakınsak olsun. g monoton ve sınırlı olsun. Bu durumda f·g çarpımının integrali yakınsaktır.

Dirichlet testinin tipik uygulaması ∫[1,∞) (sin x)/x dx integralidir. Bu integral yakınsaktır, mutlak yakınsak değildir.

İkinci tip için esas formüller

Referans integral şudur:

∫[a,b] dx/(x−a)ᵖ

Bu integral p < 1 ise yakınsak, p ≥ 1 ise ıraksaktır.

Birinci tiple karşıtlık dikkat çekicidir. Sonsuz aralıkta büyük p yakınsaklık getirir. Tekil noktada küçük p yakınsaklık getirir.

Tekil nokta aralığın içindeyse integral iki parçaya bölünür. Her parça ayrı incelenir.

Newton-Leibniz formülü, tekil noktaya limitle yaklaşılarak uygulanır.

İkinci tip yakınsaklık testleri

Testlerin yapısı birinci tiple aynıdır. Limit, sonsuz yerine tekil noktaya alınır.

Cauchy kriteri: tekil noktaya yeterince yakın iki sınır arasındaki integral, mutlak değerce istenen kadar küçük kalmalıdır.

Karşılaştırma testi: tekil noktanın komşuluğunda 0 ≤ f(x) ≤ g(x) olsun. g yakınsaksa f de yakınsaktır.

Limit testi: karşılaştırma fonksiyonu 1/(x−a)ᵖ seçilir. Oranın limiti sonlu ve sıfırdan farklı ise davranış aynıdır.

Dirichlet ve Abel testleri: birinci tipteki koşullar tekil nokta komşuluğuna taşınır.

Yakınsaklık incelemesinde önce tekil noktalar belirlenir. İntegral bu noktalarda bölünür. Her parça kendi testiyle ele alınır.

Genel Kavramsal Çerçeve

Dersin yedi ünitesi ayrı konular gibi görünür. Tek bir fikrin katmanlarıdır.

O fikir limittir.

Zincir şöyle kurulur:

fonksiyon
   ↓
limit
   ↓
süreklilik
   ↓
türev
   ↓
belirsiz integral
   ↓
belirli integral
   ↓
genelleştirilmiş integral

Her halka bir öncekinin limitidir.

Süreklilik, limitin fonksiyon değerine eşit olmasıdır.

Türev, fark oranının limitidir.

Belirli integral, Riemann toplamının limitidir.

Genelleştirilmiş integral, belirli integralin limitidir.

Bu nedenle limit tanımı kavranmadan hiçbir sonraki konu tam kavranamaz.

İkinci bağlantı ters işlem ilişkisidir. Türev ile integral birbirinin tersidir. Bağı kuran, integral hesabının temel teoremidir. Bu teorem olmadan belirli integral her seferinde limitle hesaplanırdı.

Üçüncü bağlantı yerellik ile küreselliktir. Türev yerel bir büyüklüktür; bir noktadaki davranışı verir. İntegral küresel bir büyüklüktür; bir aralıktaki birikimi verir. Ortalama değer teoremleri ikisini birbirine bağlar.

Dördüncü bağlantı varlık ile hesaptır. Teoremlerin çoğu varlık teoremidir. Ara değer teoremi kökün yerini vermez, varlığını verir. Ortalama değer teoremi c noktasını vermez, var olduğunu söyler. Hesap ayrı bir iştir ve çoğu zaman sayısaldır.

Kapalılık ve sınırlılık koşulları teoremlerin süsü değildir. Weierstrass teoremi açık aralıkta çöker. Rolle teoremi türevlenebilirlik olmadan çöker. Koşulun düştüğü karşı örneği bilmek, teoremi bilmenin bir parçasıdır.

Kavramsal Ayrımlar

Akılda tutulması gereken ayrımlar şunlardır:

Limit ≠ fonksiyon değeri. Limit noktanın komşuluğuna bakar. Fonksiyon değeri noktanın kendisindedir.

Limitin var olması ≠ limitin sonlu olması. Sonsuz limit gösterimi, sınırsız büyümeyi anlatır.

Süreklilik ≠ türevlenebilirlik. Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir. Karşıtı geçerli değildir.

Kaldırılabilir süreksizlik ≠ sıçrama süreksizliği. İlkinde tek yönlü limitler eşittir. İkincisinde farklıdır.

Supremum ≠ maksimum. Supremum en küçük üst sınırdır. Maksimum, fonksiyonun aldığı bir değerdir.

Kritik nokta ≠ ekstremum noktası. Her ekstremum kritik noktadır. Her kritik nokta ekstremum değildir.

f''(x) = 0 ≠ dönüm noktası. Dönüm noktası için işaret değişimi de gerekir.

Bire bir ≠ monoton. Kesin monotonluk bire birliği gerektirir. Karşıtı zorunlu değildir.

Örtenlik ≠ bire birlik. Örtenlik değer kümesinin tümünü kapsamaktır. Bire birlik farklı girdilerin farklı çıktı vermesidir.

Belirsizlik ≠ tanımsızlık. Belirsizlik yöntem değiştirmeyi gerektirir. Sonuç var olabilir.

L'Hôpital ≠ her limitte geçerli kural. Yalnız 0/0 ve ∞/∞ biçimlerinde doğrudan uygulanır.

Rolle ≠ ortalama değer teoremi. Rolle, uç değerlerin eşit olduğu özel durumdur.

Diferansiyel ≠ türev. Türev bir orandır. Diferansiyel, artımın doğrusal yaklaşımıdır.

Belirsiz integral ≠ belirli integral. Belirsiz integral fonksiyon ailesidir. Belirli integral bir sayıdır.

İlkelin varlığı ≠ elemanter biçimde yazılabilirlik. Sürekli her fonksiyonun ilkeli vardır. Kapalı biçimi olmayabilir.

İntegral ≠ alan. İntegral işaretli büyüklüktür. Alan için mutlak değer alınır.

Riemann toplamı ≠ belirli integral. Toplam sonlu bir yaklaşımdır. İntegral normun sıfıra gitmesindeki limittir.

Sınırlılık ≠ integrallenebilirlik. Sınırlılık gerek koşuldur. Yeter koşul değildir.

Süreklilik ≠ integrallenebilirlik için gereklilik. Sonlu sayıda süreksizlik integrallenebilirliği bozmaz.

Birinci tip ≠ ikinci tip genelleştirilmiş integral. İlkinde aralık sonsuzdur. İkincisinde fonksiyon sınırsızdır.

1/xᵖ ölçütü tipe göre ters işler. Sonsuz aralıkta p > 1 yakınsar. Tekil noktada p < 1 yakınsar.

Yakınsaklık ≠ mutlak yakınsaklık. Koşullu yakınsak integraller vardır.

Cauchy esas değeri ≠ yakınsaklık. Esas değer var olsa da integral ıraksak olabilir.

Bu ayrımlar kavrandığında dersin konuları tek bir limit zinciri içinde yerine oturur.

Kaynakça

• Ahmet Yesevi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. Matematik I (TBIL101) ders materyalleri.
• Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir, Przemyslaw Bogacki. Thomas' Calculus, 15th Edition. Pearson, 2022. (Pearson)
• Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition. McGraw-Hill, 1976.
• Tom M. Apostol. Calculus, Volume I, 2nd Edition. Wiley, 1967.
• Michael Spivak. Calculus, 4th Edition. Publish or Perish, 2008.
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden. Numerical Analysis, 10th Edition. Cengage, 2016.