Sinyaller ve Sistemler

Bu not, 2015 döneminde hazırlanan Sinyaller ve Sistemler notlarının güncellenmiş ve sıkıştırılmış biçimidir. Amaç formül ezberlemek değil, zaman alanı ile frekans alanı arasındaki bağı ve bir sistemin sinyali nasıl değiştirdiğini tek çerçevede görmektir.

Sinyal ve sistem

Sinyal bilgi taşıyan bir fonksiyondur; sürekli zamanda x(t), ayrık zamanda x[n] ile gösterilir. Sistem, girişi çıkışa dönüştürür:

x -> sistem -> y

Bir sistem belleksiz, nedensel, BIBO kararlı, zamanla değişmez, doğrusal veya tersinir olabilir. Doğrusallık toplamsallık ve homojenliği birlikte ister; y=2x+3 doğrusal değildir, y[n]=x[n-1] nedenseldir fakat bellek içerir.

Temel sinyaller

Birim basamak ile dürtü arasındaki ayrık zaman bağıntısı:

δ[n] = u[n] - u[n-1]
u[n] = Σ(k=-∞..n) δ[k]

Sürekli zamanda Dirac dürtüsü integral altındaki davranışıyla tanımlanır:

u(t) = ∫(-∞..t)δ(τ)dτ
δ(t) = du(t)/dt
∫x(t)δ(t-t0)dt = x(t0)

Karmaşık üstel:

e^(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt)

sinüzoidal çözümlemenin doğal temelidir. Sürekli zamanda e^(jω0t) her ω0 için periyodikken ayrık zamanda e^(jω0n) ancak ω0/(2π) rasyonelse periyodiktir; ayrık frekans ekseni 2π periyotludur.

Enerji:

E = ∫|x(t)|²dt
E = Σ|x[n]|²

sonluysa enerji sinyali, enerji sonsuz fakat ortalama güç sonlu ve sıfırdan farklıysa güç sinyali elde edilir. Periyodik sinyaller güç sinyalidir.

Zaman dönüşümleri

x(t-t0)   kaydırma
x(-t)     tersleme
x(at)     ölçekleme

Sürekli zamanda ölçekleme serbesttir; ayrık zamanda indislerin tamsayı kalması gerektiğinden örnek atma ve örnek ekleme ayrı işlemlerdir.

Tek ve çift ayrışım:

x_e(t) = [x(t)+x(-t)]/2
x_o(t) = [x(t)-x(-t)]/2

LTI sistemler ve evrişim

Doğrusal ve zamanla değişmez sistem, dürtü tepkisi h ile bütünüyle tanımlanır.

Ayrık zaman:

x[n] = Σ x[k]δ[n-k]
y[n] = Σ x[k]h[n-k] = x[n]*h[n]

Sürekli zaman:

y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ = x(t)*h(t)

Evrişim değişmeli, birleşmeli ve toplama üzerine dağılır; seri bağlı LTI sistemlerde dürtü tepkileri evrişir, paralel bağlı sistemlerde toplanır.

Dürtü tepkisi sistem özelliklerini doğrudan verir:

belleksiz   h(t)=Kδ(t)
nedensel    h(t)=0, t<0
kararlı     ∫|h(t)|dt < ∞

Ayrık karşılıkta kararlılık Σ|h[n]|<∞ koşuludur.

Basamak tepkisi ve dürtü tepkisi:

s(t)=u(t)*h(t)
h(t)=ds(t)/dt
h[n]=s[n]-s[n-1]

ile birbirine bağlıdır.

Diferansiyel ve fark denklemleri

Sürekli LTI sistem:

Σ a_k d^k y(t)/dt^k = Σ b_k d^k x(t)/dt^k

ayrık sistem:

Σ a_k y[n-k] = Σ b_k x[n-k]

biçiminde yazılır. Başlangıç koşulları doğal tepkiyi belirler; özyineli ayrık sistemler genellikle IIR, yalnız sonlu giriş örneği kullanan özyinesiz yapılar FIR davranışı verir.

Özfonksiyon ve frekans tepkisi

Karmaşık üsteller LTI sistemlerin özfonksiyonlarıdır:

e^(st) -> H(s)e^(st)
z^n    -> H(z)z^n

Sistem üstel bileşenin biçimini değiştirmez, yalnız katsayısını değiştirir. Bu nedenle H(jω) frekans tepkisi, sinüzoidal bileşenlerin genlik ve faz değişimini doğrudan gösterir.

Fourier serisi

T0 periyotlu sinyal ve ω0=2π/T0 için:

x(t)=Σ a_k e^(jkω0t)
a_k=(1/T0)∫(T0)x(t)e^(-jkω0t)dt

a0 ortalama değerdir; gerçek sinyaller eşlenik simetri gösterir. Dirichlet koşulları altında seri süreklilik noktalarında sinyale, sıçramada iki taraflı limitlerin ortalamasına yakınsar.

Sonlu terim sayısında süreksizlik çevresindeki yaklaşık yüzde dokuzluk aşım daralır fakat yok olmaz; Gibbs olayı budur.

Parseval:

(1/T0)∫|x(t)|²dt = Σ|a_k|²

zaman alanındaki ortalama gücü harmoniklerin güç toplamına bağlar. Ayrık zamanlı periyodik sinyalde yalnız N farklı harmonik vardır ve seri sonludur.

Fourier dönüşümü

Dönemsiz sinyal için:

X(jω)=∫x(t)e^(-jωt)dt
x(t)=(1/2π)∫X(jω)e^(jωt)dω

Temel özellikler:

x(t-t0)     <-> e^(-jωt0)X(jω)
dx/dt       <-> jωX(jω)
x(at)       <-> (1/|a|)X(jω/a)
x*h         <-> XH
xh          <-> (1/2π)X*H

Zamanda daralma frekansta genişlemeye dönüşür; ideal zaman sınırlılığı ile ideal bant sınırlılığı aynı anda sağlanamaz.

Temel çiftler:

δ(t)          <-> 1
1             <-> 2πδ(ω)
e^(-at)u(t)   <-> 1/(a+jω)
dikdörtgen    <-> sinc

Evrişimin çarpmaya dönüşmesi, LTI çözümlemenin merkezidir.

DTFT, DFT ve FFT

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü:

X(e^(jω)) = Σx[n]e^(-jωn)
x[n] = (1/2π)∫(2π)X(e^(jω))e^(jωn)dω

olup 2π periyotludur.

Sonlu N örnek için DFT:

X[k]=Σ(n=0..N-1)x[n]e^(-j2πkn/N)
x[n]=(1/N)Σ(k=0..N-1)X[k]e^(j2πkn/N)

kullanılır. DFT veri bloğunu periyodik kabul eder; uçların uyuşmaması spektral sızıntı üretir.

FFT farklı dönüşüm değil, DFT'yi yaklaşık N log N karmaşıklıkla hesaplayan algoritma ailesidir; doğrudan DFT yaklaşık N² işlem gerektirir.

Pencereleme

Sonlu kayıt, sinyalin pencereyle çarpılmasıdır. Dikdörtgen pencere dar ana loba fakat yüksek yan loba, Hann ve Hamming daha düşük sızıntıya, Blackman daha güçlü yan lob bastırmasına karşı daha geniş ana loba sahiptir.

Sıfır doldurma frekans eksenini daha sık örnekler ancak gerçek çözünürlüğü artırmaz; çözünürlüğü esas olarak gözlem süresi belirler.

STFT

Tek Fourier dönüşümü frekansı verir, zamanı vermez. Kısa zamanlı Fourier dönüşümü sinyali örtüşen pencerelerde çözerek zaman-frekans gösterimi üretir:

STFT -> spektrogram

Kısa pencere iyi zaman, uzun pencere iyi frekans çözünürlüğü verir; konuşma, müzik, titreşim, radar ve sonar çözümlemesinde bu ödünleşim doğrudan görülür.

Korelasyon ve güç spektrumu

Çapraz korelasyon:

r_xy[k]=Σx[n]y*[n-k]

iki sinyalin gecikmeye bağlı benzerliğini, otokorelasyon ise sinyalin kendi kaydırılmış kopyalarıyla benzerliğini ölçer. Gecikme kestirimi, periyodiklik, eşleşmiş süzgeç ve senkronizasyon bu işlemi kullanır.

Wiener-Khinchin bağıntısı otokorelasyon ile güç spektral yoğunluğunu Fourier dönüşümüyle bağlar. Periodogram sonlu kayıtta yüksek varyanslıdır; Welch yöntemi örtüşen ve pencerelenmiş blokların spektrumlarını ortalayarak varyansı azaltır.

Örnekleme ve nicemleme

Dürtü katarıyla örnekleme:

x_p(t)=x(t)Σδ(t-nT)

spektrumun ωs=2π/T aralıklarla kopyalanmasına yol açar:

X_p(jω)=(1/T)ΣX(j(ω-kωs))

Bant sınırı ωM ise ωs>2ωM koşulu spektral kopyaları ayırır. 2ωM Nyquist oranıdır; gerçek örnekleme hızı uygulamanın seçtiği değerdir.

Örtüşme, yüksek frekansların düşük frekans olarak görünmesidir ve örnekleme anında geri döndürülemez bilgi kaybı üretir. Bu yüzden gerçek zincir:

analog -> kenar süzgeci -> örnekle/tut -> ADC -> sayısal veri

şeklindedir.

Örnekleme zamanı, nicemleme genliği ayrıklaştırır. İdeal B bit ADC 2^B seviye üretir ve tam ölçek sinüzoidinde yaklaşık:

SNR ≈ 6.02B + 1.76 dB

sınırına sahiptir. Gerçekte termal gürültü, saat titreşimi ve doğrusal olmama ENOB değerini düşürür.

İdeal geri kazanım sinc aradeğerlemesidir; gerçek DAC sıfırıncı derece tutucu ve analog yeniden yapılandırma süzgeci kullanır.

Çok hızlı işleme

Ondalıklama:

alçak geçiren -> M ile örnek azalt

aradeğerleme:

L-1 sıfır ekle -> alçak geçiren

biçimindedir. Ön süzme olmadan ondalıklama ayrık alanda örtüşme üretir; aradeğerleme süzgeci spektral görüntüleri temizler.

L/M oranlı örnekleme hızı dönüşümünde polifaz yapıları daha sonra atılacak hesapları baştan yapmayarak işlemi verimli hale getirir.

Süzgeçler

Temel süzgeçler alçak geçiren, yüksek geçiren, bant geçiren, bant durduran ve tüm geçirendir. İdeal keskin sınır nedensel değildir; gerçek tasarım geçiş bandı, dalgalanma, bastırma, faz, derece ve maliyet arasında seçim yapar.

FIR:

y[n]=Σ b_k x[n-k]

geri beslemesiz, sonlu tepkili ve uygun simetriyle tam doğrusal fazlı olabilir.

IIR:

y[n]=-Σa_k y[n-k]+Σb_k x[n-k]

daha az katsayıyla yüksek seçicilik sağlayabilir fakat kutup kararlılığı ve sayısal duyarlılık gerektirir.

Klasik aileler:

• Butterworth: düz geçirme bandı,
• Chebyshev I: geçirme bandı dalgalı, keskin geçiş,
• Chebyshev II: durdurma bandı dalgalı,
• elliptic: iki bantta dalgalı, çok keskin geçiş,
• Bessel: faz ve grup gecikmesi düzgünlüğü.

Faz ve grup gecikmesi

Bozulmasız iletim:

H(jω)=Ke^(-jωt0)

gerektirir; genlik sabit, faz doğrusal olmalıdır.

Grup gecikmesi:

τg(ω)=-d∠H(jω)/dω

dar bantlı zarf gecikmesidir. Frekansla değişirse darbeler yayılır ve haberleşme sembolleri bozulabilir.

Bode genliği:

20log10|H(jω)|

ile gösterilir; kaskat sistemlerin çarpılan kazançları dB alanında toplanır.

Laplace dönüşümü

X(s)=∫x(t)e^(-st)dt
s=σ+jω

Laplace dönüşümü Fourier çözümlemesini üstel ağırlık ve yakınsama bölgesiyle genişletir. Aynı cebirsel ifade farklı ROC ile farklı zaman sinyallerine karşılık gelebilir.

Nedensel rasyonel sistemde ROC en sağ kutbun sağındadır; kararlılık için jω ekseni ROC içinde olmalıdır. Nedensel ve kararlı sürekli sistemin kutupları sol yarı düzlemdedir.

Sistem fonksiyonu:

H(s)=Y(s)/X(s)

başlangıçta durgun diferansiyel denklemden elde edilir. Tek taraflı dönüşüm:

L{dx/dt}=sX(s)-x(0-)

ile başlangıç koşullarını doğrudan taşır.

z-dönüşümü

X(z)=Σx[n]z^(-n)

ayrık sistemlerin Laplace karşılığıdır. z=re^(jω) için birim çember DTFT'ye karşılık gelir.

Nedensel rasyonel ayrık sistemde ROC en dış kutbun dışındadır; kararlılık için birim çember ROC içinde olmalıdır. Nedensel ve kararlı sistemin tüm kutupları birim çemberin içindedir.

Fark denkleminden:

H(z)=B(z)/A(z)

elde edilir. Kutupların birim çembere yaklaşması tepkiyi uzatır ve frekans seçiciliğini artırır.

Sayısal gerçekleme

Yüksek dereceli IIR süzgeci tek polinom biçiminde çalıştırmak sayısal olarak kırılgandır; ikinci dereceden bölümler daha güvenlidir:

H(z)=H1(z)H2(z)...Hm(z)

Sabit noktalı sistemlerde taşma, yuvarlama, katsayı nicemlemesi ve limit çevrimi gerçek sistem davranışıdır. Teorik olarak aynı aktarım fonksiyonuna sahip doğrudan, kaskat ve paralel yapılar sonlu hassasiyette farklı sonuç verebilir.

Durum uzayı

Aktarım fonksiyonu giriş-çıkışı, durum uzayı sistemin iç belleğini gösterir.

Sürekli zaman:

x_dot=Ax+Bu
y=Cx+Du

Ayrık zaman:

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]
y[n]=Cx[n]+Du[n]

Durum, gelecek giriş bilindiğinde sistemin geleceğini belirlemek için gereken en küçük iç bilgi kümesidir. Çok girişli çok çıkışlı sistemler, denetlenebilirlik ve gözlenebilirlik bu gösterimde doğal hale gelir.

Modülasyon ve haberleşme

Genlik modülasyonunun çekirdeği:

x(t)cos(ωct)
<->
(1/2)[X(j(ω-ωc))+X(j(ω+ωc))]

Senkron çözme taşıyıcı fazını ister; zarf çözme alıcıyı basitleştirir fakat taşıyıcıya güç harcar. Tek yan bant aynı bilgiyi yarı bant genişliğinde taşır.

Frekans modülasyonu bilgiyi anlık frekansa yerleştirir ve daha fazla bant karşılığında genlik gürültüsüne dayanıklılık sağlar.

PAM sembol genliklerini, QAM dik fazlı iki taşıyıcı bileşenini kullanır. Bant sınırlaması simgeler arası girişim üretir; yükseltilmiş kosinüs ve kök yükseltilmiş kosinüs darbeleri bant ile zamanlama dayanıklılığını dengeler.

OFDM çok sayıda dik alt taşıyıcıyı DFT/FFT ile gerçekler. Çevrimsel önek, yeterli uzunlukta olduğunda kanal evrişimini frekans alanında kolay eşitlenebilir hale getirir; bedeli ek yük, yüksek tepe-ortalama güç oranı ve frekans kaymasına duyarlılıktır.

Eşleşmiş süzgeç

Bilinen bir dalga biçimini beyaz gürültü içinde algılarken örnekleme anındaki SNR'ı en büyük yapan LTI sistem eşleşmiş süzgeçtir; dürtü tepkisi hedef sinyalin zaman terslenmiş eşleniğiyle orantılıdır. Radar, sonar, sayısal haberleşme ve korelasyon tabanlı tespit aynı sonuca dayanır.

Geri besleme

Negatif geri besleme:

Q=H1/(1+H1H2)

biçimindedir ve kapalı çevrim kutupları 1+H1H2=0 denklemiyle belirlenir.

Geri besleme duyarlılığı ve bozucuyu azaltabilir, izlemeyi iyileştirebilir ve kararsız bir sistemi kararlılaştırabilir; uygun olmayan faz koşulunda kararlı sistemi de kararsızlaştırabilir.

Kök yer eğrisi kutupların kazançla hareketini, Nyquist ölçütü -1 çevresindeki kuşatmalar üzerinden kapalı çevrim kararlılığını gösterir. Kazanç ve faz payları model hatası ve gecikmeye karşı kalan güvenlik mesafesidir; saf gecikme genliği değiştirmeden faz payını tüketir.

Gerçek sistem zinciri

Teoride ayrı başlıklar uygulamada birleşir:

fiziksel kaynak
-> analog ön uç
-> kenar süzgeci
-> ADC
-> tampon
-> sayısal süzgeç
-> dönüşüm / özellik
-> karar / kodlama
-> iletim / saklama

Gerçek zamanlı sistemde doğruluk kadar gecikme, blok boyu, hesap karmaşıklığı, bellek erişimi, sayısal hassasiyet, saat sapması ve örnek kaybı da önemlidir. Uzun FFT frekans aralığını sıklaştırır fakat blok gecikmesini; uzun FIR seçiciliği artırır fakat işlem maliyeti ve grup gecikmesini büyütür.

Tek çerçeve

zaman alanı          dönüşüm alanı
------------------   ----------------
evrişim              çarpma
türev / fark         frekans ağırlığı
kaydırma              faz çarpanı
üstel giriş           skaler kazanç
kararlılık            kutup + ROC

Fourier serisi periyodik sinyali harmoniklere, Fourier dönüşümü dönemsiz sinyali sürekli spektruma ayırır. Laplace sürekli sistemde, z-dönüşümü ayrık sistemde yakınsama bölgesini ekler.

Sürekli kararlılık sınırı jω ekseni, ayrık karşılığı birim çemberdir; örnekleme iki frekans eksenini ω=ΩT bağıntısıyla bağlar.

Temel ayrımlar

• Doğrusallık, sıfır girişte sıfır çıkış gerektirir.
• Nedensellik gerçek zamanlı fiziksel çalışmada zorunludur; kayıtlı veri nedensel olmayan işleme izin verir.
• BIBO kararlılık mutlak integrallenebilir veya toplanabilir dürtü tepkisi ister.
• Ayrık sinüzoid yalnız normalize frekansı rasyonelse periyodiktir.
• DTFT sürekli ve periyodik frekans değişkenine, DFT sonlu frekans örneklerine sahiptir.
• FFT yeni dönüşüm değil DFT hesaplama yöntemidir.
• Sıfır doldurma gerçek çözünürlüğü artırmaz.
• Örnekleme zamanı, nicemleme genliği ayrıklaştırır.
• Nyquist oranı alt sınır, örnekleme hızı seçilen değerdir.
• Örtüşme geri döndürülemez bilgi kaybıdır.
• Ondalıklama öncesi bant sınırlama gerekir.
• FIR sonlu ve geri beslemesizdir; IIR kutup kararlılığı gerektirir.
• Doğrusal faz sıfır faz değildir.
• Laplace ve z-dönüşümü ROC olmadan eksiktir.
• Sürekli nedensel-kararlı sistem kutupları sol yarı düzlemde, ayrık karşılığı birim çember içindedir.
• Aynı aktarım fonksiyonu farklı sayısal yapılarda sonlu hassasiyet nedeniyle farklı davranabilir.
• Açık çevrim kararlılığı kapalı çevrim kararlılığını tek başına belirlemez.

Kaynakça

• Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Prentice Hall, 1997.
• Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed. Pearson, 2010.
• Proakis, J. G., & Manolakis, D. G. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, 4th ed. Pearson, 2007.
• Haykin, S., & Van Veen, B. Signals and Systems, 2nd ed. Wiley, 2003.
• Lathi, B. P. Linear Systems and Signals, 2nd ed. Oxford University Press, 2005.
• Lyons, R. G. Understanding Digital Signal Processing, 3rd ed. Pearson, 2011.
• Proakis, J. G., & Salehi, M. Digital Communications, 5th ed. McGraw-Hill, 2007.
• Franklin, G. F., Powell, J. D., & Emami-Naeini, A. Feedback Control of Dynamic Systems, 8th ed. Pearson, 2019.
• Shannon, C. E. “Communication in the Presence of Noise.” Proceedings of the IRE, 37(1), 1949. https://doi.org/10.1109/JRPROC.1949.232969
• Cooley, J. W., & Tukey, J. W. “An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series.” Mathematics of Computation, 19(90), 1965. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1
• Welch, P. D. “The Use of Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra.” IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, 15(2), 1967. https://doi.org/10.1109/TAU.1967.1161901
• Harris, F. J. “On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform.” Proceedings of the IEEE, 66(1), 1978. https://doi.org/10.1109/PROC.1978.10837