Sayısal Mantık Tasarımı

Boole cebiri, Karnaugh haritaları, kombinasyonel devreler, flip-floplar, sayaçlar, yazmaçlar, bellek elemanları ve durum makineleri üzerine ayrıntılı sayısal mantık notları.

Sayısal mantık notlarım Boole ifadesinden gerçek devreye, oradan ardışıl davranış ve durum makinelerine geçişi izliyordu. Bu sürümde Karnaugh sadeleştirmeleri, kombinasyonel bloklar, flip-floplar, sayaçlar ve yazmaçlar arasındaki bağı korudum. Daha sonraki HDL terminolojisini yalnız tarihsel çekirdeği açıklamaya yardımcı olduğu ölçüde ekledim.

Ünite 1: Sayı Sistemleri ve İkili Kodlar

Konumsal sayı sistemleri

Sayısal sistemlerde sayıların değeri yalnız kullanılan sembollere değil, bu sembollerin bulunduğu basamaklara da bağlıdır. Tabanı b olan konumsal bir sayı sistemi:

(dn ... d2 d1 d0 . d-1 d-2 ...)b

biçiminde gösterilebilir.

Sayının değeri:

N = sum(di x b^i)

ile bulunur.

Burada:

b: sayı sisteminin tabanı,
di: ilgili basamaktaki rakam,
i: basamak konumudur.

Bir tabanda kullanılabilecek rakamlar:

0 ... b-1

aralığındadır.

Örneğin onluk sistemde taban 10, ikili sistemde 2, sekizli sistemde 8, onaltılı sistemde 16'dır.

Basamak ağırlığı

Bir sayının her basamağı:

di x b^i

ağırlığına sahiptir.

Örneğin:

65872_10

sayısında:

6 x 10^4
5 x 10^3
8 x 10^2
7 x 10^1
2 x 10^0

terimleri bulunur.

En sağdaki basamak en az anlamlı basamak, en soldaki basamak en çok anlamlı basamaktır.

İkili sayılarda bunlar sırasıyla:

LSB - Least Significant Bit
MSB - Most Significant Bit

olarak adlandırılır.

Kombinasyon sayısı

Tabanı b olan sistemde n basamak:

b^n

farklı kombinasyon oluşturabilir.

İkili sistemde n bit:

2^n

farklı değer temsil eder.

Örneğin 8 bit:

2^8 = 256

farklı bit deseni oluşturur.

İşaretsiz gösterimde bu desenler:

0 ... 255

aralığını temsil edebilir.

Onluk sayı sistemi

Onluk sistemin tabanı:

ve rakamları:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

şeklindedir.

Günlük yaşamda kullanılan sayı sistemidir.

İkili sayı sistemi

İkili sistemin tabanı:

ve rakamları:

0
1

olarak tanımlanır.

Sayısal elektronik için doğal gösterimdir çünkü iki kararlı mantık durumu doğrudan iki sembolle temsil edilebilir.

Örnek:

101101_2

onluk sistemde:

1 x 2^5 +
0 x 2^4 +
1 x 2^3 +
1 x 2^2 +
0 x 2^1 +
1 x 2^0
=
45_10

değerine eşittir.

Sekizli sayı sistemi

Sekizli sistemin tabanı:

ve rakamları:

0 1 2 3 4 5 6 7

şeklindedir.

Bir sekizli rakam tam olarak üç bit ile gösterilebilir:

0_8 = 000_2
1_8 = 001_2
...
7_8 = 111_2

Bu nedenle ikili-sekizli dönüşüm üçlü bit grupları üzerinden kolaylıkla yapılabilir.

Onaltılı sayı sistemi

Onaltılı sistemin tabanı:

ve rakamları:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

şeklindedir.

A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

Bir onaltılı rakam dört bite karşılık gelir:

0_16 = 0000_2
...
F_16 = 1111_2

Bu nedenle işlemci yazmaçları, adresler ve bit maskeleri çoğu zaman onaltılı gösterimle yazılır.

Onluktan ikiliye dönüşüm

Tamsayı bölümünde sayı art arda 2'ye bölünür. Kalanlar ters sırada okunur.

Örnek:

13 / 2 = 6 kalan 1
 6 / 2 = 3 kalan 0
 3 / 2 = 1 kalan 1
 1 / 2 = 0 kalan 1

Sonuç:

13_10 = 1101_2

İkiliden onluya dönüşüm

Her bit basamak ağırlığıyla çarpılır:

110101_2
=
1 x 2^5 +
1 x 2^4 +
0 x 2^3 +
1 x 2^2 +
0 x 2^1 +
1 x 2^0
=
53_10

İkili-onaltılı dönüşüm

İkili sayı sağdan başlayarak dörderli gruplara ayrılır:

1011 1100 0110
   B    C    6

Dolayısıyla:

101111000110_2 = BC6_16

Ters dönüşümde her onaltılı rakam dört bit ile değiştirilir.

İkili-sekizli dönüşüm

Bitler üçlü gruplara ayrılır:

101 110 011
 5   6   3

Dolayısıyla:

101110011_2 = 563_8

İkili toplama

Temel kurallar:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

1 + 1 işleminde:

toplam = 0
elde = 1

oluşur.

Bu davranış tam toplayıcı devresinin temelidir.

İki'nin tümleyeni

Modern sayısal sistemlerde signed tamsayıların temel gösterimi iki'nin tümleyenidir.

n bit signed aralık:

-2^(n-1) ... 2^(n-1)-1

olur.

8 bit için:

-128 ... 127

Bir bit deseninin iki'nin tümleyeni:

bütün bitleri tersle,
sonuca 1 ekle

adımlarıyla elde edilir.

Örnek:

00001101     13
11110010     1'in tümleyeni
11110011     2'nin tümleyeni

Bu desen 8 bit signed gösterimde -13 değeridir.

İkili çıkarma

Çıkarma toplama donanımı kullanılarak yapılabilir:

A - B
=
A + two_complement(B)

Örneğin:

7 - 3
=
7 + (-3)

biçiminde hesaplanabilir.

Bu özellik sayısal devre tasarımında ayrı bir büyük çıkarma donanımı yerine toplama ve tümleme yapılarının birlikte kullanılmasını sağlar.

İkili çarpma

Temel bit çarpımları:

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1

Çok basamaklı çarpım:

kısmi çarpım üretme,
kaydırma,
toplama

işlemleriyle gerçekleştirilebilir.

Örnek:

   1011
x   101
-------
   1011
  0000
 1011
-------
110111

İkili bölme

İkili bölme:

karşılaştırma,
çıkarma,
kaydırma

işlemleri kullanılarak yapılabilir.

Tekrarlı çıkarma öğretici bir modeldir, ancak donanım bölücüler daha gelişmiş ardışıl veya paralel algoritmalar kullanabilir.

İkili sayı ve ikili kod farkı

İkili sayı:

1010_2

gibi bir sayısal değerin taban-2 gösterimidir.

İkili kod ise bir sembol veya bilgiyi belirli kurala göre bit dizisiyle temsil eder.

Örneğin onluk 12 sayısı:

1100_2

ikili değerine sahiptir.

8421 BCD kodu ise:

0001 0010

şeklindedir.

Bu iki gösterim birbirine karıştırılmamalıdır.

BCD

BCD, her onluk rakamı ayrı dört bitlik kodla gösterir.

Örnek:

59_10

için:

5 -> 0101
9 -> 1001

dolayısıyla:

59_BCD = 0101 1001

olur.

Dört bit 16 kombinasyon oluşturmasına rağmen BCD yalnız:

0000 ... 1001

aralığındaki 10 deseni kullanır.

Alfanümerik kodlar

Karakterler de bit dizileriyle kodlanır.

ASCII:

7 bit
128 kod noktası

tanımlar.

ASCII'nin kendisi 7 bitlik bir koddur. Tarihsel seri iletişim sistemlerinde ayrıca sekizinci bit eşlik biti olarak kullanılabilmiştir, ancak bu ASCII standardının zorunlu bir parçası değildir.

EBCDIC özellikle IBM ana bilgisayarlarında tarihsel ve güncel kullanım alanına sahip 8 bitlik karakter kodlama ailesidir.

Modern metin sistemlerinde temel standart Unicode'dur. Unicode kod noktaları UTF-8, UTF-16 ve UTF-32 gibi kodlama biçimleriyle saklanabilir.

Ünite 2: İkili Mantık ve Mantık Kapıları

İkili mantık

İkili mantıkta değişkenler iki değer alır:

0
1

Bunlar fiziksel devrede:

düşük/yüksek gerilim,
pasif/aktif,
yanlış/doğru

gibi anlamlara karşılık gelebilir.

Mantıksal 0 ve 1 doğrudan tek bir gerilim değeri değil, kullanılan lojik aile tarafından tanımlanan gerilim aralıklarıdır.

AND işlemi

AND:

Z = A B

veya:

Z = A AND B

şeklinde gösterilir.

| A | B | Z | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 |

Çıkış yalnız bütün girişler 1 ise 1 olur.

OR işlemi

OR:

Z = A + B

şeklinde yazılır.

| A | B | Z | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 |

En az bir giriş 1 ise çıkış 1 olur.

NOT işlemi

NOT tek girişlidir:

Z = A'

| A | Z | | --- | --- | | 0 | 1 | | 1 | 0 |

Girişi tersler.

Anahtarlama modeli

Mantık işlemleri anahtarlarla modellenebilir.

Seri anahtarlar:

A AND B

davranışına benzetilebilir. Akım yolunun oluşması için iki anahtarın da kapalı olması gerekir.

Paralel anahtarlar:

A OR B

davranışına benzetilebilir. Kollardan birinin kapanması akım yolunu oluşturabilir.

Bu model mantığı öğretmek için yararlıdır. Gerçek sayısal tümdevreler MOSFET veya başka aktif elektronik yapıların transistor düzeyindeki birleşimleriyle gerçekleştirilir.

Buffer

Tampon kapısı:

Y = A

işlevini gerçekleştirir.

Mantıksal değeri değiştirmez ancak fiziksel devrede:

sürme kapasitesi,
izolasyon,
fan-out,
sinyal bütünlüğü

için önemlidir.

Inverter

Tersleyici:

Y = A'

işlevini gerçekleştirir.

CMOS inverter sayısal elektronik için en temel transistor düzeyindeki devrelerden biridir.

NAND

NAND:

Y = (AB)'

işlevini verir.

NAND evrensel kapıdır. Her Boolean işlev yalnız NAND kullanılarak gerçekleştirilebilir.

NOR

NOR:

Y = (A + B)'

işlevini verir.

NOR da evrensel kapıdır.

XOR

Exclusive OR:

Y = A XOR B

girişler farklı olduğunda 1 üretir.

| A | B | XOR | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 |

Boolean gösterim:

A XOR B = A'B + AB'

XOR:

toplama,
parity,
bit değiştirme

devrelerinde önemlidir.

XNOR

XNOR girişler aynı olduğunda 1 üretir:

A XNOR B = AB + A'B'

Bir bitlik eşitlik karşılaştırıcısının temelidir.

Ünite 3: Mantık Devrelerinin Analizi ve Sentezi

Genel mantık devresi

Bir kombinasyonel devrenin çıkışları yalnız mevcut girişlerin fonksiyonudur:

Y = F(X)

Geçmiş durumun etkisi yoktur.

Bir devre:

lojik şema,
Boolean denklem,
doğruluk tablosu

ile eşdeğer biçimde ifade edilebilir.

Analiz

Analizde devre verilidir ve davranışı bulunur.

Temel sıra:

giriş değişkenlerini belirle,
ara düğümleri adlandır,
her kapının denklemini yaz,
çıkış denklemini çıkar,
gerekiyorsa sadeleştir,
doğruluk tablosunu oluştur.

Örneğin:

X = AB
Y = C'
Z = X + Y

ise:

Z = AB + C'

olur.

Sentez

Sentezde istenen davranış verilir ve devre oluşturulur.

Temel sıra:

giriş ve çıkışları belirle,
doğruluk tablosunu oluştur,
Boolean fonksiyonunu çıkar,
sadeleştir,
kapılarla gerçekleştir.

Minterm

n değişkenli minterm her değişkeni bir kez içerir ve yalnız bir giriş kombinasyonunda 1 olur.

İki değişken için:

m0 = A'B'
m1 = A'B
m2 = AB'
m3 = AB

Bir doğruluk tablosunda çıkışın 1 olduğu satırların mintermleri OR işlemine alınarak kanonik SOP elde edilir.

Örnek:

F(A,B) = sum m(1,3)

eşdeğeri:

F = A'B + AB

olur.

Sum of Products

SOP, çarpım terimlerinin toplamıdır:

F = A'BC + AB'C + ABC

AND kapılarıyla terimler oluşturulur, ardından OR ile birleştirilir.

Maxterm

Maxterm her değişkeni bir kez içeren toplam terimidir ve yalnız bir giriş kombinasyonunda 0 olur.

İki değişken için örnek maxtermler:

M0 = A + B
M1 = A + B'
M2 = A' + B
M3 = A' + B'

Product of Sums

POS toplam terimlerinin çarpımıdır:

F = (A + B')(A' + C)

Doğruluk tablosunda çıkışın 0 olduğu satırlardan kanonik POS oluşturulabilir.

Kanonik ve sadeleştirilmiş ifade

Kanonik ifade doğruluk tablosunun davranışını doğrudan temsil eder ancak minimum kapı sayısını garanti etmez.

Sadeleştirme amacı:

literal sayısını,
kapı sayısını,
kapı giriş sayısını,
gecikmeyi

azaltmaktır.

Gerçek donanım sentezinde yalnız cebirsel küçüklük değil:

zamanlama,
güç,
alan,
fan-out,
teknoloji kütüphanesi

de değerlendirilir.

Ünite 4: Boole Cebri

Temel yapı

Boole cebri iki değerli mantığın cebirsel temelidir.

Değerler:

0
1

Temel işlemler:

AND
OR
NOT

Kimlik kuralları

A + 0 = A
A . 1 = A

Baskınlık

A + 1 = 1
A . 0 = 0

Idempotent kuralları

A + A = A
A . A = A

Tamamlayıcı

A + A' = 1
A . A' = 0

Çift tümleme

(A')' = A

Değişme

A + B = B + A
AB = BA

Birleşme

A + (B + C) = (A + B) + C
A(BC) = (AB)C

Dağılma

A(B + C) = AB + AC

Boolean cebrinde ayrıca:

A + BC = (A + B)(A + C)

eşitliği geçerlidir.

Yutma

A + AB = A

A(A + B) = A

De Morgan

(AB)' = A' + B'

(A + B)' = A'B'

De Morgan kuralları NAND/NOR dönüşümlerinin temelidir.

NAND ile gerçekleştirme

Örneğin:

F = AB + CD

De Morgan ile:

F = ((AB)'(CD)')'

biçimine dönüştürülerek iki seviyeli NAND-NAND ağıyla gerçekleştirilebilir.

NOR ile gerçekleştirme

POS biçimi:

F = (A + B)(C + D)

uygun tersleme ile NOR-NOR ağına dönüştürülebilir.

Ünite 5: Karnaugh Haritaları

K-haritasının amacı

Karnaugh haritası az sayıda değişkenli Boolean fonksiyonlarını görsel komşuluk kullanarak sadeleştirir.

K-haritası doğruluk tablosunun yeniden düzenlenmiş biçimidir.

Temel amaç:

komşu mintermleri birleştirmek,
değişen değişkenleri elemek,
daha az literal içeren ifade elde etmektir.

Gray düzeni

Hücreler normal binary sayma sırasıyla değil Gray kod sırasıyla yerleştirilir:

Bu sayede komşu hücreler yalnız bir değişkende farklı olur.

İki değişkenli K-haritası

Dört hücre içerir:

2^2 = 4

İki komşu 1 birleştirildiğinde bir değişken elenir.

Örneğin:

A'B + AB = B

Üç değişkenli K-haritası

Sekiz hücre içerir:

2^3 = 8

Kenarlar da birbirine komşudur.

Bu nedenle ilk ve son sütun fiziksel olarak uzakta çizilmiş olsa da mantıksal komşudur.

Dört değişkenli K-haritası

On altı hücre içerir:

2^4 = 16

Satır ve sütunların her ikisi de Gray kod düzenindedir.

Gruplama kuralları

Gruplar:

1, 2, 4, 8, 16, ...

hücre içermelidir.

Tercih:

mümkün olan en büyük grup,
bütün 1 hücrelerini kapsama,
gereksiz grup sayısını azaltma.

Gruplar gerektiğinde örtüşebilir.

SOP sadeleştirmesi

SOP elde etmek için 1 hücreleri gruplanır.

Grup içinde değişmeyen değişkenler sonuç teriminde kalır.

Örneğin dört hücreli bir grupta iki değişken değişiyorsa bu iki değişken elenir.

POS sadeleştirmesi

POS için 0 hücreleri gruplanır.

Sonuç maxterm biçiminde yazılır.

Don't-care durumları

Bazı giriş birleşimleri sistemde hiç oluşmuyorsa veya çıkışı önemsizse:

ile gösterilebilir.

Don't-care hücresi sadeleştirmeyi iyileştiriyorsa 0 veya 1 gibi kullanılabilir, gerekmiyorsa kullanılmayabilir.

K-haritasının sınırı

İki, üç ve dört değişkenli fonksiyonlarda çok kullanışlıdır.

Değişken sayısı büyüdükçe görsel yöntem zorlaşır. Büyük devrelerde mantık minimizasyonu ve teknoloji eşleme işlemleri EDA sentez araçlarıyla otomatik yapılır.

K-haritası buna rağmen mantık sadeleştirmenin temelini anlamak için önemini korur.

Ünite 6: Birleşimsel Devre Tasarımı

Tasarım adımları

Bir birleşimsel devre için:

problemi tanımla,
giriş ve çıkışları belirle,
doğruluk tablosunu oluştur,
çıkış fonksiyonlarını yaz,
sadeleştir,
devreyi çiz,
doğrula.

Bu sıra:

toplayıcı,
çıkarıcı,
karşılaştırıcı,
kodlayıcı,
kod çözücü,
çoklayıcı

gibi yapıların tamamına uygulanabilir.

Yarım toplayıcı

İki bit toplar:

A
B

Çıkışlar:

S
C

Doğruluk tablosu:

| A | B | S | C | | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 |

Denklemler:

S = A XOR B
C = AB

Tam toplayıcı

Tam toplayıcı:

A
B
Cin

girişlerini toplar.

Çıkışlar:

S
Cout

Toplam:

S = A XOR B XOR Cin

Elde:

Cout = AB + Cin(A XOR B)

şeklinde yazılabilir.

Tam toplayıcının yarım toplayıcılardan kurulması

Birinci yarım toplayıcı:

S1 = A XOR B
C1 = AB

İkinci yarım toplayıcı:

S = S1 XOR Cin
C2 = S1 Cin

Son elde:

Cout = C1 + C2

olur.

Paralel toplayıcı

n bitlik sayılar için n tam toplayıcı zincirlenebilir.

Basit ripple-carry yapısında:

Cout(i) -> Cin(i+1)

bağlantısı bulunur.

Sorun, elde gecikmesinin bitler boyunca yayılmasıdır.

Bit genişliği arttıkça hız için:

carry-lookahead,
carry-select,
prefix adder

gibi daha gelişmiş yapılar kullanılabilir.

İki'nin tümleyeniyle çıkarma

Çıkarma:

A - B
=
A + B' + 1

olduğundan toplayıcı devresi hem toplama hem çıkarma için kullanılabilir.

Kontrol biti SUB:

B_i XOR SUB
Cin = SUB

şeklinde uygulanırsa:

SUB = 0 -> A + B
SUB = 1 -> A + B' + 1

elde edilir.

Karşılaştırıcı

İki ikili sayının:

A > B
A = B
A < B

ilişkilerini üretir.

Bir bit için:

EQ = A XNOR B
GT = AB'
LT = A'B

Çok bitli karşılaştırmada en anlamlı bitten başlanır.

İlk farklı yüksek basamak sonucu belirler.

Kaskat karşılaştırıcı

Daha geniş sayıları karşılaştırmak için küçük karşılaştırıcı bloklar zincirlenebilir.

Alt blok:

eşit,
büyük,
küçük

bilgisini üst basamaklara taşır.

Güncel HDL sentezinde karşılaştırma çoğunlukla doğrudan:

A > B
A == B

ifadeleriyle yazılır ve sentez aracı uygun devreyi oluşturur.

Ünite 7: Kodlayıcılar ve Kod Çözücüler

Kodlayıcı

Encoder, aktif giriş hattını daha kısa ikili kodla temsil eder.

Örneğin 4-to-2 encoder:

D0 -> 00
D1 -> 01
D2 -> 10
D3 -> 11

Basit encoder aynı anda yalnız bir girişin aktif olduğunu varsayar.

Öncelikli kodlayıcı

Birden fazla giriş aynı anda aktif olabiliyorsa priority encoder kullanılır.

Örneğin:

D3 > D2 > D1 > D0

önceliği tanımlanmış olabilir.

Birden fazla giriş 1 olduğunda en yüksek öncelikli giriş kodlanır.

Genellikle ayrıca:

valid

çıkışı bulunur.

BCD kodlayıcı

On giriş hattının birini 4 bit BCD koduna dönüştürebilir:

0 ... 9
↓
0000 ... 1001

Kod çözücü

Decoder, n bitlik giriş koduna göre en fazla:

2^n

çıkıştan birini etkinleştirir.

2-to-4 decoder

Girişler:

A1 A0

çıkışlar:

Y0 Y1 Y2 Y3

Aktif-high durumda:

Y0 = A1'A0'
Y1 = A1'A0
Y2 = A1A0'
Y3 = A1A0

3-to-8 decoder

Üç giriş:

A2 A1 A0

sekiz minterm üretir.

Bu nedenle decoder aynı zamanda minterm üreteci olarak düşünülebilir.

Enable girişi

Birçok decoder:

EN

girişine sahiptir.

Enable aktif değilse decoder çıkışları pasif kalır.

Bu özellik:

daha büyük decoder kurmak,
bellek seçmek,
çevre birimi adreslemek

için kullanılır.

Entegre devre örnekleri

74xx ailesindeki:

gibi devreler tarihsel eğitim ve laboratuvar örnekleridir.

Bu entegreleri tanımak mantık işlevini anlamak için yararlıdır, ancak güncel tasarımda aynı işlev:

FPGA,
CPLD,
ASIC,
programlanabilir lojik

içinde doğrudan sentezlenebilir.

Ezberlenmesi gereken temel konu parça numarası değil, işlevsel mantıktır.

Ünite 8: Çoklayıcılar, Demultiplexer ve Üç Durumlu Mantık

Multiplexer

Multiplexer, birçok veri girişinden birini seçim girişlerine göre tek çıkışa aktarır.

2^n veri girişli MUX için:

seçim biti gerekir.

2-to-1 multiplexer

Girişler:

D0
D1
S

Çıkış:

Y = S'D0 + SD1

olur.

4-to-1 multiplexer

İki seçim biti:

S1 S0

dört girişten birini seçer.

| S1 | S0 | Y | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | D0 | | 0 | 1 | D1 | | 1 | 0 | D2 | | 1 | 1 | D3 |

Çok bitli multiplexer

İki adet 4 bit veri yolu:

A[3:0]
B[3:0]

tek 4 bit çıkışa seçilebilir.

Aynı seçim biti her bit konumundaki MUX'u kontrol eder.

Bu yapı işlemci veri yollarında çok yaygındır.

Multiplexer ile Boolean işlev

MUX veri seçicisi olmasının yanında genel Boolean fonksiyon gerçekleştirmek için de kullanılabilir.

Seçim girişleri değişkenlerden bazılarına bağlanır, veri girişleri:

0
1
X
X'

gibi değerlerle doldurulur.

Bu yöntem fonksiyonu doğrudan MUX üzerinden gerçekler.

Demultiplexer

Demultiplexer tek veri girişini seçim hatlarına göre çok sayıda çıkıştan birine yönlendirir.

2 çıkışlı örnek:

Y0 = S'D
Y1 = SD

"Tekilleyici" tarihsel Türkçe kaynaklarda görülebilir. Güncel mühendislik kullanımında demultiplexer, demux veya çoktan dağıtıcı ifadeleri daha yaygındır.

Üç durumlu çıkış

Üç durumlu çıkış:

0
1
Z

durumlarını alabilir.

Z yüksek empedans durumudur.

Bu durumda eleman ortak hattı etkin biçimde sürmez.

Üç durumlu buffer

Enable aktifken:

Y = A

Enable pasifken:

Y = Z

olur.

Ortak veri yolunda birden fazla kaynak bulunuyorsa aynı anda yalnız bir sürücünün etkin olması gerekir.

İki kaynağın aynı anda zıt değer sürmesi elektriksel çatışmaya ve yüksek akıma yol açabilir.

Güncel kullanım

Üç durumlu sürücüler:

PCB veri yolları,
harici bellek arabirimleri,
iki yönlü I/O

için önemlidir.

FPGA ve ASIC iç mantığında büyük üç durumlu ağlar çoğunlukla MUX ağlarına dönüştürülür.

Ünite 9: Eşlik Devreleri ve Aritmetik Mantık Birimi

Eşlik

Parity basit hata sezme yöntemidir.

Çift eşlik: Veri ve parity biti birlikte değerlendirildiğinde 1 sayısı çift olur.

Tek eşlik: Toplam 1 sayısı tek olur.

Eşlik üretimi

XOR işleminin önemli özelliği:

A XOR B XOR C ...

sonucunun bitler içindeki tek/çift 1 sayısına bağlı olmasıdır.

Dört bit için çift eşlik biti:

P = A XOR B XOR C XOR D

gibi üretilebilir.

Eşlik denetimi

Alıcı aynı XOR işlemini veri ve parity biti üzerinde uygular.

Beklenen parity koşulu bozulmuşsa hata sezilir.

Parity:

tek sayıda bit hatasını sezer,
çift sayıda bazı hataları kaçırır,
hata konumunu belirlemez,
tek başına hata düzeltmez.

Bu nedenle basit hata sezme mekanizmasıdır.

Aritmetik Mantık Birimi

ALU, işlemcinin aritmetik ve bit düzeyi mantık işlemlerini yapan temel veri yolu bileşenidir.

Girişler:

A
B
operation
carry-in

Çıkışlar:

F
flags

Aritmetik işlemler

Basit ALU:

A + B
A - B
A + 1
A - 1

gibi işlemleri yapabilir.

Mantık işlemleri

A AND B
A OR B
A XOR B
NOT A

gibi işlemler bulunabilir.

İşlem seçimi

Aritmetik ve mantık bloklarının sonuçları ayrı üretilebilir ve MUX ile seçilebilir:

A, B
 ├─ Aritmetik birim ─┐
 ├─ Mantık birimi ───┼─ MUX -> F
 └─ Karşılaştırıcı ──┘

Kontrol girişleri yapılacak işlevi belirler.

Durum bayrakları

Bir ALU işlemi sonucunda tipik bayraklar:

zero,
carry,
negative/sign,
overflow,
parity

olabilir.

Her ISA aynı bayrakları aynı anlamla kullanmaz.

Sıfır bayrağı

Sonuç:

F = 0

ise etkin olur.

Bit düzeyinde bütün sonuç bitlerinin NOR işlemiyle üretilebilir.

İşaret bayrağı

İki'nin tümleyeni signed sonuç için en anlamlı bit negatiflik göstergesi olarak kullanılabilir:

N = F[n-1]

Carry

Unsigned toplamada en üst basamaktan çıkan eldeyi ifade eder.

Çıkarma sırasında carry/borrow yorumunun kesin anlamı kullanılan mimariye göre değişebilir.

Overflow

Signed aritmetik taşmasıdır.

Carry ile aynı şey değildir.

İki'nin tümleyeninde iki aynı işaretli operand toplanıp sonuç ters işaretliyse overflow oluşur.

Parity bayrağı

Bazı mimariler sonuç bitlerinin parity bilgisini bayrakta tutar.

Bu özellik evrensel değildir ve modern ISA'ların hepsinde bulunmaz.

Ünite 10: Sıralı Mantık Devreleri

Sıralı mantık

Birleşimsel devrede:

Y = F(X)

Sıralı devrede:

Q(next) = F(Q, X)
Y = G(Q, X)

olur.

Çıkış veya sonraki durum geçmiş durumdan etkilenir.

Bellek özelliği geri besleme ve saklama elemanlarıyla oluşturulur.

Durum

Bir sıralı devrenin gelecekteki davranışını etkileyen saklanmış bilgiye durum denir.

Durum bitleri:

latch,
flip-flop,
register

ile tutulabilir.

Latch

Latch seviye duyarlı saklama elemanıdır.

Enable aktif olduğu sürece giriş değişimlerini izleyebilir.

SR NOR latch

Aktif-high SR NOR latch:

| S | R | Q(next) | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | Önceki durum | | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | Geçersiz/yasak |

S=R=1 durumu klasik NOR latch için geçersizdir.

SR NAND latch

NAND tabanlı SR latch genellikle aktif-low girişlidir.

Bu nedenle giriş isimleri:

S'
R'

biçiminde gösterilebilir.

Aktif seviyenin ne olduğu sembolden ve devreden okunmalıdır.

Gated latch

Enable sinyali eklenerek latch'in ne zaman girişe tepki vereceği kontrol edilir.

Bu yapı senkron sistemlere geçişi anlamak için önemlidir.

Flip-flop

Flip-flop tipik olarak saat kenarında durum değiştirir.

Temel türler:

SR flip-flop

Saat olayında S ve R girişlerine göre durum değiştirir.

Klasik tasarımda S=R=1 yasak durumdur.

D flip-flop

D flip-flop:

Q(next) = D

denklemine sahiptir.

Tek veri girişi olduğundan yasak giriş kombinasyonu yoktur.

Modern senkron tasarımın en yaygın saklama elemanlarından biridir.

T flip-flop

T = 0 -> durumu koru
T = 1 -> durumu değiştir

Davranış:

Q(next) = T XOR Q

olarak yazılabilir.

Sayaçlarda doğal kullanım alanına sahiptir.

JK flip-flop

JK:

| J | K | Q(next) | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | Q | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | Q' |

SR'nin yasak durumunu:

J = K = 1

için toggle davranışıyla ortadan kaldırır.

Saat kenarı

Pozitif kenar:

0 -> 1

Negatif kenar:

1 -> 0

geçişidir.

Flip-flop tasarımına göre yalnız belirlenen kenarda yeni giriş örneklenir.

Setup ve hold

Bir flip-flopun doğru çalışması için giriş:

aktif saat kenarından belirli süre önce kararlı olmalı,
kenardan belirli süre sonra da kararlı kalmalıdır.

Bu süreler:

setup time
hold time

olarak adlandırılır.

İhlal edilirse metastability riski oluşur.

Master-slave flip-flop

Tarihsel master-slave yapı iki seviye duyarlı latch'i ardışık kullanarak girişin bir saat fazında alınmasını, diğer fazda çıkışa aktarılmasını sağlar.

Kenar tetiklemeyi anlamak için öğretici bir yapıdır.

Modern standart hücre kütüphanelerinde gerçek flip-flop iç yapısı teknolojiye bağlıdır.

Ünite 11: Senkron Sayıcı Tasarımı

Sayaç

Sayaç her saat olayında önceden belirlenmiş durum dizisini izleyen sıralı devredir.

Üç bit binary sayaç:

dizisini izler.

Mod

Bir sayacın tekrar etmeden önce geçtiği farklı durum sayısı:

modulus

olarak adlandırılır.

n bitlik tam binary sayaç:

mod 2^n

yapısındadır.

Asenkron sayaç

Ripple counter'da bir flip-flopun çıkışı sonrakinin saat girişini sürer.

Avantaj:

basit devre.

Dezavantaj:

propagation delay basamaklar boyunca birikir,
ara geçici durumlar oluşabilir.

Senkron sayaç

Bütün flip-floplar aynı saat işaretini kullanır.

Sonraki durum giriş mantığıyla hesaplanır.

Bu nedenle yüksek hızlı sayım için daha uygundur.

Sayaç tasarım adımları

Senkron sayaç tasarımı:

durumları belirle,
durum diyagramını çiz,
durum tablosunu oluştur,
kullanılacak flip-flop türünü seç,
uyarma gereksinimlerini belirle,
K-haritalarıyla sadeleştir,
devreyi oluştur.

Durum diyagramı

İki bit ileri sayaç:

00 -> 01 -> 10 -> 11 -> 00

durum geçişlerine sahiptir.

Durum tablosu

| Q1 | Q0 | Q1(next) | Q0(next) | | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 |

T flip-flop uyarımı

T flip-flop için:

| Q | Q(next) | T | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 |

Dolayısıyla:

T = Q XOR Q(next)

olarak düşünülebilir.

D flip-flop uyarımı

D flip-flop en basit uyarma ilişkisine sahiptir:

D = Q(next)

Bu nedenle modern senkron durum makinesi sentezinde D flip-flop modeli çok doğaldır.

JK uyarım tablosu

| Q | Q(next) | J | K | | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | X | | 0 | 1 | 1 | X | | 1 | 0 | X | 1 | | 1 | 1 | X | 0 |

X don't-care değeridir.

Geri sayıcı

İki bit geri sayaç:

11 -> 10 -> 01 -> 00 -> 11

gibi davranabilir.

Tasarım adımları ileri sayıcıyla aynıdır. Yalnız hedef durum dizisi değişir.

İleri-geri sayaç

Kontrol girişi:

UP_DOWN

ile bir devre:

ileri
geri

sayım arasında seçilebilir.

Entegre sayaçlar

74xx ailesindeki sayaç entegreleri klasik laboratuvar örnekleridir.

Güncel sistemlerde sayaçlar çoğu zaman:

FPGA HDL kodu,
mikrodenetleyici timer/counter çevre birimi,
ASIC mantığı

içinde gerçekleştirilir.

Ünite 12: Yazmaçlar

Yazmaç

n bitlik register:

n bit

saklar.

Örneğin 8 bit register:

Q7 Q6 Q5 Q4 Q3 Q2 Q1 Q0

çıkışlarına sahiptir.

Paralel yazmaç

Bütün bitler aynı saat olayında yüklenir:

D7...D0
↓
Q7...Q0

Bu işleme paralel yükleme denir.

Load enable

LOAD = 0 -> Q(next) = Q
LOAD = 1 -> Q(next) = D

Her bit için MUX yaklaşımı:

Dff_input = LOAD ? D : Q

şeklinde düşünülebilir.

Üç durumlu çıkışlı yazmaç

Bir yazmaç ortak veri yolunu:

OE = 1

olduğunda sürer.

Pasif durumda:

çıktısı verir.

Aynı veri yolunda yalnız bir kaynak etkin tutulmalıdır.

Kaydırma yazmacı

Shift register saatle birlikte bitleri bir konum kaydırır.

Temel türler:

SISO,
SIPO,
PISO,
PIPO.

Seri giriş paralel çıkış

SIPO:

serial in
   ↓
[FF] -> [FF] -> [FF] -> [FF]
                   ↓
             paralel çıkışlar

seri veriyi zaman içinde toplar ve paralel biçimde okunabilir hale getirir.

Paralel giriş seri çıkış

PISO paralel veriyi tek seri hat üzerinden bit bit göndermek için kullanılır.

Bu yapı:

pin sayısını azaltma,
seri iletişim,
I/O genişletme

uygulamalarında kullanılabilir.

Seri giriş seri çıkış

SISO bir dijital gecikme hattı gibi düşünülebilir.

Bir bit her saat olayında bir kademe ilerler.

İki yönlü kaydırma

Kontrol girişine göre:

sağa kaydır
sola kaydır

işlemleri yapılabilir.

Universal shift register ayrıca:

paralel yükleme,
durumu koruma

işlevlerini de birleştirebilir.

Aritmetik kaydırma

Signed iki'nin tümleyeni sayıda aritmetik sağa kaydırma işaret bitini koruyacak biçimde gerçekleştirilir.

Lojik sağa kaydırmada ise soldan sıfır girer.

Bu fark aritmetik işlemlerde önemlidir.

Ünite 13: Yazmaç Dizileri ve Belleğe Geçiş

Yazmaç dizisi

Örneğin:

4 x 4

ifadesi:

4 adet yazmaç
her biri 4 bit

anlamına gelebilir.

Toplam saklama kapasitesi:

4 x 4 = 16 bit

olur.

Okuma ve yazma

Temel işlemler:

write:
R[address] <- data

read:
data <- R[address]

şeklindedir.

Her yazmaç için ayrı RD ve WR hattı kullanmak yazmaç sayısı büyüdükçe verimsiz olur.

Bu nedenle:

ortak okuma/yazma kontrolü,
adres seçim hatları,
decoder

kullanılır.

Adres seçimi

N adet yazmaç için gereken adres biti:

ceil(log2 N)

kadardır.

Örneğin 16 yazmaç:

4 bit

adresle seçilebilir.

4 x 4 yazmaç dizisi

Dört adet 4 bit yazmaç:

R0
R1
R2
R3

ortak 4 bit veri yoluna bağlanabilir.

İki adres biti:

A1 A0

dört yazmaçtan birini seçer.

Kapasite genişletme

İki adet:

8 x 4

yazmaç dizisi uygun seçim mantığıyla:

16 x 4

kapasiteye genişletilebilir.

Burada yazmaç sayısı artar, sözcük genişliği değişmez.

Sözcük genişliği genişletme

İki adet:

4 x 8

yapı paralel bağlanarak:

4 x 16

oluşturulabilir.

Burada adres sayısı aynı kalır, her yazmacın bit genişliği artar.

Boyutlandırma ilkesi

Bellek yapılarında iki ayrı büyüklük vardır:

sözcük sayısı
sözcük genişliği

Örneğin:

1024 x 8

bellek:

1024 sözcük
8 bit/sözcük

anlamına gelir.

Toplam kapasite:

8192 bit
=
1024 bayt

olur.

Adres decoder'ı

n adres biti:

2^n

satırdan birini seçebilir.

Bu nedenle register array ve RAM organizasyonu decoder kavramının doğrudan uygulamasıdır.

Register file

İşlemci içindeki yazmaç dizileri güncel terminolojide çoğunlukla register file olarak adlandırılır.

Modern register file:

birden çok okuma portu,
bir veya daha fazla yazma portu

içerebilir.

Örneğin iki kaynak ve bir hedef kullanan ALU komutu için:

2 read ports
1 write port

doğal bir düzenlemedir.

Yazmaç dizisinden belleğe

Küçük register array ile büyük RAM arasındaki temel düşünce aynıdır:

adres
↓
seçim
↓
saklama hücresi
↓
okuma/yazma veri yolu

Fark:

hücre teknolojisi,
port sayısı,
kapasite,
gecikme,
enerji,
fiziksel düzen

gibi ayrıntılardadır.

Bu nedenle sayı sistemlerinden başlayan ders zinciri sonunda gerçek işlemci veri yollarına ulaşır:

bit
↓
kapı
↓
Boolean fonksiyonu
↓
birleşimsel devre
↓
flip-flop
↓
register
↓
register file
↓
ALU ve veri yolu
↓
işlemci

Sayısal Tasarımın Bütünsel Çerçevesi

Sayısal mantık tasarımı birbirinden bağımsız kapı sembollerini ezberleme dersi değildir. Temel düşünce soyutlama katmanlarının birbirine dönüşmesidir.

Bir sayı:

13_10

ikili sistemde:

1101_2

olarak gösterilir.

Bu bitler fiziksel olarak lojik seviyelerle temsil edilir.

Lojik seviyeler:

AND
OR
NOT
XOR

kapılarıyla işlenir.

Kapı ağı Boolean fonksiyonuna karşılık gelir.

Boolean fonksiyonları:

cebir,
K-haritası

ile sadeleştirilebilir.

Bu işlevler birleşerek:

toplayıcı
karşılaştırıcı
encoder
decoder
MUX
ALU

gibi birleşimsel blokları oluşturur.

Durum saklamak için:

latch
flip-flop

eklenir.

Bunlardan:

counter
register
register file

oluşturulur.

Sonuçta bilgisayar işlemcisinin temel veri yolu bileşenlerine ulaşılır.

Sayısal tasarımın ana zinciri:

Sayı gösterimi
    ↓
Boolean cebri
    ↓
Mantık kapıları
    ↓
Kombinasyonel mantık
    ↓
Sıralı mantık
    ↓
Yazmaçlar ve sayaçlar
    ↓
Veri yolu ve ALU
    ↓
İşlemci organizasyonu

şeklindedir.