Diferansiyel Denklemler: Birinci ve İkinci Mertebe Denklemler

Diferansiyel denklemler notlarını 2013-2014 dönemindeki Bilgisayar Mühendisliği lisans dersleri sırasında hazırladım. Güncel sürüm, birinci ve ikinci mertebe diferansiyel denklemlerin özgün ders sırasını korurken varlık, teklik ve yöntemlerin uygulanma koşullarına ilişkin ifadeleri daha açık hale getirmektedir.

Ünite 1: Temel Kavramlar ve Tanımlar

Diferansiyel denklemin tanımı

Bir ya da daha çok bağımlı değişkenin türevlerini içeren denkleme diferansiyel denklem denir.

Bilinmeyen bir sayı değil, bir fonksiyondur. Cebirsel denklemden ayrılan nokta budur. Cebirsel denklem kök arar, diferansiyel denklem fonksiyon arar.

Denklem, bir büyüklüğün kendisi ile değişim hızı arasındaki ilişkiyi yazar. Doğa yasalarının çoğu bu biçimdedir.

Sınıflandırma

Adi diferansiyel denklem: bağımsız değişken tektir. Yalnız adi türevler bulunur.

Kısmi diferansiyel denklem: birden çok bağımsız değişken vardır. Kısmi türevler bulunur.

Bu ders adi diferansiyel denklemleri inceler.

Lineer denklem: bağımlı değişken ve türevleri birinci derecedendir ve birbiriyle çarpılmaz. Katsayılar yalnız bağımsız değişkene bağlıdır.

aₙ(x)y⁽ⁿ⁾ + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x)

Bu biçimde yazılamayan denklem lineer değildir. y², y·y', sin y içeren denklemler bu sınıftadır.

f(x) = 0 ise denklem homojendir. Aksi halde homojen değildir.

Mertebe ve derece

Denklemde bulunan en yüksek türevin mertebesine denklemin mertebesi denir.

En yüksek mertebeli türevin üssüne derece denir. Derece kavramı yalnız denklem türevlere göre polinom biçimindeyse tanımlıdır.

İfade biçimleri

Adi diferansiyel denklem üç biçimde yazılır.

Kapalı biçim:

F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0

Açık biçim: en yüksek türev yalnız bırakılır.

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾)

Diferansiyel biçim: birinci mertebeden denklemlerde kullanılır.

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Türev gösterimleri de değişir. Leibniz gösterimi dy/dx, Lagrange gösterimi y', Newton gösterimi ẏ biçimindedir. Sonuncusu zamana göre türevde kullanılır.

Çözüm türleri

Denklemi özdeş olarak sağlayan fonksiyona çözüm denir.

Genel çözüm: n. mertebeden denklemin çözümü n adet keyfi sabit içerir. Sabit sayısı mertebeye eşittir.

Özel çözüm: keyfi sabitlere belirli değerler verilerek elde edilir.

Tekil çözüm: genel çözümden hiçbir sabit seçimiyle elde edilemeyen çözümdür. Her denklemde bulunmaz.

Çözüm iki biçimde verilebilir. y = f(x) biçimindeki çözüme açık çözüm, F(x, y) = 0 biçimindekine kapalı çözüm denir.

Genel çözüm bir eğri ailesi tanımlar. Her sabit değeri bir eğriye karşılık gelir. Bu eğrilere integral eğrileri denir.

Başlangıç değer problemi

Çözüme, bağımsız değişkenin tek bir noktasında konan koşullara başlangıç koşulu denir.

y' = f(x, y),   y(x₀) = y₀

n. mertebeden denklem için n adet koşul gerekir. Bu koşullar aynı noktada verilir ve türevleri kapsar.

Koşullar keyfi sabitleri belirler. Sonuç tek bir özel çözümdür.

Sınır değer problemi

Koşullar birden çok noktada veriliyorsa sınır değer problemi söz konusudur.

y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x),   y(a) = α,   y(b) = β

İki problem türü yüzeysel olarak benzer, davranışları farklıdır. Başlangıç değer problemi uygun koşullarda tek çözüme sahiptir. Sınır değer probleminin çözümü olmayabilir ya da sonsuz çoklukta olabilir.

Varlık ve teklik

Bir denklem yazmak, çözümünün var olduğunu göstermez.

Picard-Lindelöf teoremi birinci mertebeden başlangıç değer problemi için koşul verir. f(x, y) fonksiyonu bir dikdörtgen bölgede sürekli ve y değişkenine göre Lipschitz koşulunu sağlıyorsa, başlangıç noktasının bir komşuluğunda tek bir çözüm vardır.

Teorem yereldir. Çözümün ne kadar uzağa uzandığını söylemez.

Koşul sağlanmazsa teklik bozulabilir. Aynı başlangıç noktasından birden çok çözüm geçebilir.

Olayların modellenmesi

Diferansiyel denklem kurmak, fiziksel ifadeyi matematiksel dile çevirmektir. Anahtar sözcük "hız" ya da "oran"dır.

Tipik modeller:

• Üstel büyüme ve azalma: değişim hızı mevcut miktarla orantılıdır. y' = ky. Radyoaktif bozunma, nüfus artışı ve bileşik faiz bu modeldir.
• Newton soğuma yasası: sıcaklık değişim hızı, cisim ile ortam sıcaklığı farkıyla orantılıdır. T' = k(T − Tₒ).
• Karışım problemleri: bir tanktaki madde miktarının değişim hızı, giren ve çıkan debilerin farkıdır.
• Serbest düşme ve direnç: ivme, kuvvetlerin bileşkesinden çıkar. Hava direnci hıza bağlıysa denklem birinci mertebedendir.
• Mekanik titreşim: yay kuvveti yer değiştirmeyle orantılıdır. Denklem ikinci mertebedendir.
• RC ve RL devreleri: Kirchhoff yasası birinci mertebeden lineer denklem verir.

Model kurmanın adımları şunlardır. Değişkenler ve birimler belirlenir. Fiziksel yasa yazılır. Değişim hızı türevle ifade edilir. Başlangıç koşulu eklenir.

Ünite 2: Birinci Mertebeden Denklemlerin Sınıflandırılması

İfade biçimleri

Birinci mertebeden denklem üç biçimde yazılır:

F(x, y, y') = 0
y' = f(x, y)
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Üçüncü biçim, x ve y değişkenlerini simetrik ele alır. Bir biçimde çözülemeyen denklem, diğerinde çözülebilir olabilir. Bağımlı ve bağımsız değişkenin rolünü değiştirmek bazen denklemi basitleştirir.

Sınıflandırma

Çözüm yöntemi denklemin türüne bağlıdır. Bu nedenle ilk iş tür belirlemektir.

Değişkenlerine ayrılabilir denklem: iki değişken çarpanlara ayrılabilir biçimde ayrışır.

y' = g(x) · h(y)

Tam diferansiyel denklem: sol taraf bir fonksiyonun tam diferansiyelidir.

∂M/∂y = ∂N/∂x

Homojen denklem: M ve N fonksiyonları aynı dereceden homojendir. Denklem y/x oranına bağlı biçimde yazılabilir.

y' = f(y/x)

Lineer denklem: bağımlı değişken ve türevi birinci derecedendir.

y' + A(x)·y = B(x)

Sıra önemlidir. Bir denklem birden çok sınıfa girebilir. En kısa yöntemi veren sınıf seçilir.

Tür belirleme için pratik yol şudur: önce ayrılabilirlik denenir, sonra lineerlik sınanır, sonra homojenlik, en son tamlık ölçütü uygulanır.

Ünite 3: Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler

Genel çözüm

Denklem şu biçime getirilebiliyorsa değişkenlerine ayrılabilirdir:

M(x) dx + N(y) dy = 0

Her terim tek bir değişkene bağlıdır. İki taraf ayrı ayrı integre edilir:

∫ M(x) dx + ∫ N(y) dy = C

Tek bir keyfi sabit yazılır. İki integralin sabitleri birleştirilir.

Yöntem, çözülebilen denklemlerin en basitidir. Diğer birçok tür, uygun dönüşümle bu biçime indirgenir.

Uygulamada dikkat edilecekler

Ayırma sırasında bölme yapılır. Bölenin sıfır olduğu değerler ayrıca incelenmelidir. Bu değerler çoğu zaman sabit çözümlere karşılık gelir ve genel çözümden çıkmayabilir.

Örnek olarak y' = y denkleminde y = 0 sabit çözümdür. Ayırma sırasında y ile bölünür ve bu çözüm elden kaçabilir.

Logaritma içeren çözümlerde sabit ln|C| biçiminde alınırsa sonuç sadeleşir.

Başlangıç koşulu varsa sabit hemen belirlenir. İntegral sınırlarını başlangıç noktasından itibaren yazmak da aynı sonucu verir.

Uygulama alanları

Radyoaktif bozunma: y' = −ky denklemi y = y₀e^(−kt) çözümünü verir. Yarılanma süresi ln2/k olur.

Nüfus artışı: sınırsız kaynak varsayımında üstel model geçerlidir. Kaynak sınırlıysa lojistik model kullanılır ve denklem yine ayrılabilirdir.

Newton soğuma yasası: sıcaklık farkı üstel olarak azalır.

Karışım problemi: tanktaki madde miktarı için kurulan denklem, giriş ve çıkış debileri eşitse ayrılabilirdir.

Yörünge problemleri: bir eğri ailesine dik kesen eğrilere ortogonal yörünge denir. Ailenin diferansiyel denklemi kurulur, y' yerine −1/y' yazılır ve elde edilen denklem çözülür.

Ünite 4: Tam Diferansiyel Denklemler

Tam diferansiyel

İki değişkenli bir F(x, y) fonksiyonunun tam diferansiyeli şudur:

dF = (∂F/∂x) dx + (∂F/∂y) dy

Tam diferansiyel denklem

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

denkleminin sol tarafı bir F fonksiyonunun tam diferansiyeli ise denklem tamdır.

Bu durumda dF = 0 olur ve genel çözüm doğrudan yazılır:

F(x, y) = C

Tamlık ölçütü

M ve N fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri olsun. Denklem tamdır ancak ve ancak:

∂M/∂y = ∂N/∂x

Ölçüt, karışık kısmi türevlerin eşitliğinden gelir. F fonksiyonunun ikinci karışık türevleri sıralamadan bağımsız olmalıdır.

Sınama hızlıdır ve kesindir. İki türev alınır ve karşılaştırılır.

Genel çözümün bulunması

Adımlar şunlardır:

1. M fonksiyonu x değişkenine göre integre edilir. Sabit yerine y'ye bağlı bir g(y) fonksiyonu yazılır.

F(x, y) = ∫ M dx + g(y)

1. Elde edilen F fonksiyonunun y'ye göre kısmi türevi alınır.
2. Bu türev N fonksiyonuna eşitlenir. Buradan g'(y) çekilir.
3. g'(y) integre edilerek g(y) bulunur.
4. Sonuç F(x, y) = C biçiminde yazılır.

İşlem N fonksiyonundan başlatılarak da yapılabilir. Sonuç aynıdır. Hangi integralin kolay olduğuna bakılarak seçim yapılır.

Üçüncü adımda g'(y) ifadesinin x içermemesi gerekir. x kalıyorsa ya denklem tam değildir ya hesapta hata vardır. Bu, hesabın doğal denetim noktasıdır.

İntegrasyon çarpanı

Denklem tam değilse, uygun bir μ(x, y) fonksiyonuyla çarpılarak tam hale getirilebilir. Bu fonksiyona integrasyon çarpanı denir.

μ·M dx + μ·N dy = 0

Genel durumda μ fonksiyonunu bulmak, özgün denklemi çözmek kadar zordur. İki özel durumda kapalı formül vardır.

Birinci durum: aşağıdaki ifade yalnız x'e bağlıysa

(∂M/∂y − ∂N/∂x) / N = h(x)

integrasyon çarpanı şudur:

μ(x) = e^(∫h(x)dx)

İkinci durum: aşağıdaki ifade yalnız y'ye bağlıysa

(∂N/∂x − ∂M/∂y) / M = k(y)

integrasyon çarpanı şudur:

μ(y) = e^(∫k(y)dy)

İşaret sırası iki durumda farklıdır. En sık yapılan hata budur.

Bazı denklemlerde μ, xᵃyᵇ biçiminde denenerek bulunur. Bu, üçüncü bir pratik yoldur.

İntegrasyon çarpanıyla çarpmak yeni çözümler ekleyebilir. Çarpanın sıfır olduğu noktalar sonradan denetlenmelidir.

Ünite 5: Homojen Diferansiyel Denklemler

Homojen fonksiyon

Her t için f(tx, ty) = tⁿ·f(x, y) sağlanıyorsa fonksiyon n. dereceden homojendir.

Pratik sınama şudur. x yerine tx, y yerine ty yazılır. t çarpanı ortak paranteze alınabiliyorsa fonksiyon homojendir.

Homojen diferansiyel denklem

İki denk tanım kullanılır.

Birinci tanım: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 denkleminde M ve N aynı dereceden homojen ise denklem homojendir.

İkinci tanım: denklem şu biçimde yazılabiliyorsa homojendir.

y' = f(y/x)

Sağ taraf yalnız y/x oranına bağlıdır. x ve y ayrı ayrı görünmez.

Bu kavram, "homojen lineer denklem" kavramıyla karıştırılmamalıdır. İkincisi f(x) = 0 olan lineer denklemi anlatır. İki kullanım farklıdır ve aynı derste birlikte geçer.

Çözüm yöntemi

Dönüşüm şudur:

v = y/x   ⟹   y = v·x   ⟹   y' = v + x·v'

Yerine konursa denklem şu biçimi alır:

v + x·(dv/dx) = f(v)
x·(dv/dx) = f(v) − v

Bu denklem değişkenlerine ayrılabilir:

dv / [f(v) − v] = dx / x

İntegre edilir. Sonra v yerine y/x yazılarak özgün değişkenlere dönülür.

Yöntemin özü şudur: homojenlik, iki değişkenli problemi tek değişkenli bir probleme indirger.

f(v) − v ifadesinin sıfır olduğu v değerleri ayrıca incelenmelidir. Bunlar y = cx biçiminde doğrusal çözümler verir.

Homojen hale dönüştürülebilen denklemler

Şu biçimdeki denklemler homojen değildir, dönüşümle homojen yapılır:

y' = f( (a₁x + b₁y + c₁) / (a₂x + b₂y + c₂) )

Doğrular kesişiyorsa: iki doğrunun kesim noktası (h, k) bulunur. Öteleme yapılır:

x = X + h,   y = Y + k

Sabit terimler düşer ve denklem homojen hale gelir.

Doğrular paralelse: kesim noktası yoktur. Bu durumda payda ile pay orantılıdır. Şu dönüşüm kullanılır:

z = a₁x + b₁y

Denklem değişkenlerine ayrılabilir biçime gelir.

Ayrım ölçütü katsayı determinantıdır. a₁b₂ − a₂b₁ sıfırdan farklıysa birinci yol, sıfırsa ikinci yol uygulanır.

Ünite 6: Birinci Mertebeden Lineer Denklemler

Tanım

Standart biçim şudur:

y' + A(x)·y = B(x)

Bağımlı değişken ve türevi birinci derecedendir. Katsayılar yalnız x'e bağlıdır.

A(x) ve B(x) uygun düzenlilik koşullarını sağladığında integrasyon çarpanı yöntemiyle genel çözüm elde edilir. Bu yapı, birinci mertebeden lineer denklemler için sistematik bir çözüm formülü verir.

B(x) = 0 ise denklem homojen lineerdir ve doğrudan değişkenlerine ayrılabilir.

Yöntem 1: sabitin değişimi

Önce homojen denklem çözülür:

y' + A(x)y = 0  ⟹  y = C · e^(−∫A dx)

Sonra C sabitinin x'e bağlı olduğu varsayılır:

y = c(x) · e^(−∫A dx)

Bu ifade türetilir ve özgün denklemde yerine yazılır. A(x) içeren terimler sadeleşir. Geriye yalnız c'(x) içeren bir ifade kalır:

c'(x) = B(x) · e^(∫A dx)

İntegre edilerek c(x) bulunur ve yerine yazılır.

Yöntemin adı sabitin değişimidir. İkinci mertebeden denklemlerde de aynı fikir kullanılır.

Yöntem 2: genel çözüm formülü

Yöntem 1 genel olarak yürütülürse kapalı formül elde edilir:

y = e^(−∫A dx) · [ ∫ B(x)·e^(∫A dx) dx + C ]

Formül doğrudan uygulanabilir. Önce ∫A dx hesaplanır, sonra iki üstel terim yazılır, en son iç integral alınır.

Yöntem 3: integrasyon çarpanı

Denklem diferansiyel biçimde yazılır ve tamlık ölçütü uygulanır. Elde edilen integrasyon çarpanı şudur:

μ(x) = e^(∫A(x)dx)

Denklemin iki tarafı bu çarpanla çarpılır. Sol taraf bir çarpımın türevine dönüşür:

(μ·y)' = μ·B(x)

İntegre edilir ve y çekilir:

y = (1/μ) · [ ∫ μ·B dx + C ]

Üç yöntem aynı sonucu verir. Üçüncüsü uygulamada en kısasıdır. Sol tarafın kapalı türev biçimine dönüşmesi, hesabın doğruluk denetimidir.

Bernoulli denklemi

Lineer olmayan ama lineere indirgenebilen önemli bir sınıftır:

y' + A(x)y = B(x)·yⁿ,   n ≠ 0, 1

Dönüşüm şudur:

v = y^(1−n)

Denklem v değişkeninde birinci mertebeden lineer hale gelir. Çözüldükten sonra y'ye dönülür.

n = 0 ve n = 1 durumlarında denklem zaten lineerdir ya da ayrılabilirdir.

Mekanik uygulaması

Havada düşen bir cisimde direnç hızla orantılıysa Newton yasası şu denklemi verir:

m·(dv/dt) = mg − k·v

Denklem hem ayrılabilir hem lineerdir. Çözümü şudur:

v(t) = (mg/k) · [1 − e^(−kt/m)]

Zaman büyüdükçe hız mg/k değerine yaklaşır. Bu değere limit hız denir. İvme sıfırlanır ve hareket düzgün olur.

Aynı denklem yapısı RL devresinde de görülür. Akım, kaynak geriliminin dirence oranına üstel olarak yaklaşır.

Ünite 7: İkinci Mertebeden Sabit Katsayılı Homojen Denklemler

Tanım

a₂y'' + a₁y' + a₀y = 0

Katsayılar reel sabittir ve a₂ ≠ 0 olmalıdır.

Çözümlerin yapısı

İki temel özellik geçerlidir.

Üst üste binme ilkesi: y₁ ve y₂ çözüm ise, bunların her lineer kombinasyonu da çözümdür. Bu özellik yalnız homojen lineer denklemlerde vardır.

Genel çözümün yapısı: lineer bağımsız iki çözüm bulunursa genel çözüm bunların kombinasyonudur.

y = c₁y₁ + c₂y₂

İki çözümün lineer bağımsızlığı Wronskian determinantıyla sınanır:

W(y₁, y₂) = | y₁   y₂  |
            | y₁'  y₂' |

Wronskian bir aralıkta sıfırdan farklıysa çözümler bağımsızdır. Bu durumda ikiliye temel çözüm kümesi denir.

Karakteristik denklem

y = e^(kx) denenir. Yerine konursa e^(kx) çarpanı sadeleşir ve cebirsel bir denklem kalır:

a₂k² + a₁k + a₀ = 0

Buna karakteristik denklem ya da yardımcı denklem denir. Diferansiyel problem cebirsel probleme indirgenmiştir.

Köklerin yapısı diskriminanta bağlıdır ve üç durum ayrılır.

Durum 1 - farklı iki reel kök (Δ > 0):

y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)

Durum 2 - çakışık reel kök (Δ = 0):

y = (c₁ + c₂x) · e^(kx)

İkinci çözümde x çarpanı zorunludur. İki üstel terim aynı olacağından bağımsızlık sağlanmaz. x çarpanı bağımsızlığı kurar.

Durum 3 - karmaşık eşlenik kökler (Δ < 0), k = α ± βi:

y = e^(αx) · (c₁·cos βx + c₂·sin βx)

Euler formülü kullanılarak üstel biçimden trigonometrik biçime geçilir. Reel katsayılı denklemin çözümü reel yazılır.

Üç durum ezberlenmez, karakteristik denklemin köklerinden okunur.

Mekanik titreşimler

Yay ucundaki kütlenin hareketi bu denklem sınıfıyla tanımlanır:

m·y'' + c·y' + k·y = 0

m kütle, c sönüm katsayısı, k yay sabitidir. y denge konumundan yer değiştirmedir.

Denklem, Hooke yasası ile Newton'un ikinci yasasının birleşmesinden çıkar.

Basit harmonik hareket

Sönüm yoksa (c = 0) denklem sadeleşir:

y'' + ω²y = 0,   ω = √(k/m)

Karakteristik kökler saf sanaldır. Çözüm salt trigonometriktir:

y = A·cos ωt + B·sin ωt = R·cos(ωt − φ)

R genlik, ω açısal frekans, φ faz açısıdır.

Periyot T = 2π/ω olur. Genlik zamanla azalmaz. Hareket sonsuza kadar sürer.

Sönümlü titreşim

Sönüm varsa üç davranış ortaya çıkar. Ayrım, c² − 4mk diskriminantının işaretine bağlıdır.

Aşırı sönümlü (c² > 4mk): kökler farklı ve negatif reeldir. Sistem salınım yapmadan denge konumuna yaklaşır. Dönüş yavaştır.

Kritik sönümlü (c² = 4mk): kök çakışıktır ve negatiftir. Sistem salınım yapmadan denge konumuna döner. Bu, salınımsız dönüşün en hızlı halidir.

Az sönümlü (c² < 4mk): kökler karmaşıktır ve reel kısmı negatiftir. Sistem salınır, genlik üstel olarak azalır.

y = e^(−ct/2m) · (c₁·cos ωd t + c₂·sin ωd t)

Üstel çarpan zarftır. Salınım bu zarfın içinde sönür.

Üç durum mühendislikte doğrudan karşılık bulur. Araç süspansiyonu ve kapı kapatıcı kritik sönüme yakın tasarlanır. Salınım istenmez, dönüş hızlı olmalıdır.

Ünite 8: İkinci Mertebeden Sabit Katsayılı Homojen Olmayan Denklemler

Genel çözümün yapısı

a₂y'' + a₁y' + a₀y = f(x)

Genel çözüm iki parçadan oluşur:

y = yₕ + yö

yₕ, f(x) = 0 alınarak elde edilen homojen çözümdür. İki keyfi sabit içerir.

yö, denklemi sağlayan herhangi bir özel çözümdür. Keyfi sabit içermez.

Homojen çözüm 7. ünitedeki yöntemle bulunur. Bu ünitenin konusu özel çözümdür.

Sabitlerin değişimi yöntemi

Genel yöntemdir. Her f(x) için çalışır.

Homojen çözümdeki sabitler fonksiyon kabul edilir:

yö = u₁(x)·y₁ + u₂(x)·y₂

Türevler alınır ve bir ek koşul konarak sistem şu biçime getirilir:

u₁'·y₁ + u₂'·y₂ = 0
u₁'·y₁' + u₂'·y₂' = f(x)/a₂

Sistem u₁' ve u₂' için çözülür. Katsayılar determinantı Wronskian'dır.

u₁' = −y₂·f / (a₂·W)
u₂' = y₁·f / (a₂·W)

İntegre edilerek u₁ ve u₂ bulunur.

Yöntem geneldir ancak integraller çoğu zaman zordur.

Belirsiz katsayılar yöntemi

f(x) belirli türdense daha kısa yoldur. Özel çözümün biçimi tahmin edilir, katsayılar belirlenir.

Yöntem yalnız sabit katsayılı denklemlerde ve şu f(x) türlerinde uygulanır.

Polinom: f(x) n. dereceden polinom ise özel çözüm de n. dereceden genel polinom alınır. Eksik terimler yazılmalıdır.

f(x) = 3x² + 1  ⟹  yö = Ax² + Bx + C

Üstel fonksiyon:

f(x) = e^(ax)  ⟹  yö = A·e^(ax)

Trigonometrik fonksiyon: sinüs ya da kosinüs varsa her ikisi birden yazılır.

f(x) = sin bx  ⟹  yö = A·cos bx + B·sin bx

Yalnız sinüs bulunsa bile kosinüs terimi konur. Türev alındığında ortaya çıkacaktır.

Çarpım ve toplam: f(x) bu türlerin çarpımıysa deneme fonksiyonu da çarpım alınır. Toplamıysa her terim için ayrı özel çözüm bulunup toplanır. Bu, üst üste binme ilkesinin uygulanmasıdır.

Deneme fonksiyonu denklemde yerine yazılır. Benzer terimlerin katsayıları eşitlenir. Doğrusal bir katsayı sistemi çözülür.

Rezonans durumu

Yöntemin kritik istisnası şudur. Deneme fonksiyonu homojen çözümde zaten bulunuyorsa doğrudan kullanılamaz. Yerine konduğunda sıfır verir ve katsayılar belirlenemez.

Bu durumda deneme fonksiyonu x ile çarpılır. Hâlâ homojen çözümde bulunuyorsa x² ile çarpılır.

Çarpan derecesi, ilgili kökün karakteristik denklemdeki katlılığına eşittir.

Fiziksel karşılığı rezonanstır. Zorlayıcı kuvvetin frekansı sistemin doğal frekansına eşitse genlik zamanla sınırsız büyür. Sönümsüz sistemde çözümde t·sin ωt biçiminde terim ortaya çıkar.

Rezonans mühendislikte iki yönlüdür. Radyo alıcısında istenir, yapı tasarımında kaçınılır.

İki yöntemin karşılaştırması

Belirsiz katsayılar yöntemi hızlıdır ancak dardır. Yalnız sabit katsayılı denklemlerde ve sınırlı f(x) türlerinde çalışır.

Sabitlerin değişimi yöntemi geneldir. Değişken katsayılı denklemlerde de kullanılır. Karşılığında daha çok integral hesabı gerektirir.

f(x) fonksiyonu tan x, sec x ya da ln x gibi bir fonksiyonsa belirsiz katsayılar yöntemi uygulanamaz. Sabitlerin değişimi tek seçenektir.

Ünite 9: Operatör Yöntemi

Türev operatörü

Türev alma işlemi bir operatörle gösterilir:

D = d/dx,   D² = d²/dx²,   Dⁿ = dⁿ/dxⁿ

Diferansiyel denklem bu gösterimle kısalır:

a₂y'' + a₁y' + a₀y = f(x)   ⟹   (a₂D² + a₁D + a₀)y = f(x)

Parantez içindeki ifadeye operatör polinomu denir ve L(D) ile gösterilir.

Sabit katsayılı denklemlerde L(D) polinomu cebirsel bir polinom gibi işlem görür. Çarpanlara ayrılabilir ve çarpanlar yer değiştirebilir.

Bu özellik değişken katsayılı denklemlerde geçerli değildir.

Özel çözümün operatörle bulunması

Özel çözüm biçimsel olarak şöyle yazılır:

yö = [1/L(D)] · f(x)

1/L(D) ifadesine ters operatör denir. Anlamı, integrasyon içeren bir işlemdir.

Yöntemin gücü, f(x) türüne göre kısayol kurallarının bulunmasıdır.

f(x) polinom ise

1/L(D) ifadesi D değişkenine göre kuvvet serisine açılır. Açılım, D'nin artan kuvvetlerine göre yapılır.

Polinomun derecesi n ise açılımda Dⁿ terimine kadar gidilir. Daha yüksek türevler sıfır verir ve yazılmaz.

1/(1 − D) = 1 + D + D² + D³ + ...

Açılım f(x) polinomuna uygulanır. Her terim bir türev alma işlemidir.

Sonlu sayıda terimde biten bu işlem, belirsiz katsayılar yönteminden hızlıdır.

f(x) üstel fonksiyon ise

Temel kural şudur:

[1/L(D)] · e^(ax) = e^(ax) / L(a),   L(a) ≠ 0

Operatör polinomunda D yerine a yazılır. İşlem tek adımda biter.

L(a) = 0 ise kural uygulanamaz. Bu, a değerinin karakteristik denklemin kökü olması demektir. Rezonans durumudur. Çözüm x çarpanıyla düzeltilir:

[1/L(D)] · e^(ax) = x·e^(ax) / L'(a)

L'(a) da sıfırsa işlem yinelenir ve x² çarpanı gelir.

f(x) sinüs veya kosinüs ise

Kural, D² terimi üzerinden yürür:

[1/L(D²)] · sin ax = sin ax / L(−a²),   L(−a²) ≠ 0

D² yerine −a² yazılır. Kosinüs için de aynı kural geçerlidir.

Dayanağı şudur: sin ax fonksiyonunun ikinci türevi, kendisinin −a² katıdır.

L(−a²) = 0 durumu yine rezonanstır. Çözümde x çarpanı belirir.

Operatörde tek dereceli D terimi varsa önce D² terimleri dönüştürülür, kalan D terimi paydadan eşleniğiyle çarpılarak temizlenir.

f(x) üstel ile başka bir fonksiyonun çarpımı ise

Kaydırma kuralı kullanılır:

[1/L(D)] · [e^(ax) · V(x)] = e^(ax) · [1/L(D + a)] · V(x)

Üstel çarpan öne alınır. Operatörde D yerine D + a yazılır. Geriye V(x) fonksiyonu için daha basit bir problem kalır.

Kural, üstel çarpanlı bütün durumları önceki kurallara indirger.

f(x) farklı türden fonksiyonların toplamı ise

Üst üste binme ilkesi uygulanır. Her terim için ayrı özel çözüm bulunur ve toplanır:

[1/L(D)]·(f₁ + f₂) = [1/L(D)]·f₁ + [1/L(D)]·f₂

Her terime kendi türüne uygun kural uygulanır.

Yöntemin yeri

Operatör yöntemi, belirsiz katsayılar yönteminin sistemleştirilmiş halidir. Aynı denklem sınıfında çalışır.

Üstünlüğü hızıdır. Katsayı sistemi kurulmaz ve çözülmez. Kural doğrudan sonucu verir.

Sınırı da aynıdır. Yalnız sabit katsayılı denklemlerde ve belirli f(x) türlerinde geçerlidir. Genel durumda sabitlerin değişimi yöntemine dönülür.

Genel Kavramsal Çerçeve

Dersin dokuz ünitesi tek bir stratejinin uygulamalarıdır.

O strateji şudur: bilinen bir biçime indirgemek.

Zincir şöyle kurulur:

değişkenlerine ayrılabilir denklem
   ↑
homojen denklem  (v = y/x dönüşümü)
   ↑
lineer denklem   (integrasyon çarpanı)
   ↑
Bernoulli denklemi  (v = y^(1−n) dönüşümü)
   ↑
tam denklem      (integrasyon çarpanı)

Okların tümü aynı yöne bakar. Her tür, dönüşümle daha basit bir türe indirilir. En alttaki basamak iki integralden ibarettir.

İkinci mertebede aynı strateji başka bir biçim alır:

diferansiyel denklem
   ↓
karakteristik denklem
   ↓
cebirsel kök bulma

Türev alma işlemi bir çarpma işlemine dönüşür. Analiz problemi cebir problemine iner. Operatör yöntemi bu dönüşümü açık bir gösterime kavuşturur.

İkinci bağ çözüm yapısının değişmezliğidir. Homojen olmayan her lineer denklemde genel çözüm aynı biçimdedir:

genel çözüm = homojen çözüm + özel çözüm

Homojen kısım sistemin kendi davranışını taşır. Özel kısım dış etkinin yanıtıdır. Mekanikte biri serbest titreşim, diğeri zorlanmış yanıttır. Elektrikte biri geçici rejim, diğeri kalıcı rejimdir.

Üçüncü bağ rezonansın her yerde aynı işaretle görünmesidir. Deneme fonksiyonu homojen çözümde bulunuyorsa, ters operatörde payda sıfırlanıyorsa, karakteristik kök tekrarlıysa aynı olguyla karşılaşılır. Çözüm her seferinde x çarpanıyla düzeltilir. Fiziksel karşılık her seferinde genliğin büyümesidir.

Dördüncü bağ integral ile diferansiyel denklem arasındaki süreklilikdir. Diferansiyel denklem çözmek, sonuçta integral almaktır. Ayrılabilir denklem iki integraldir. İntegrasyon çarpanı, integrali mümkün kılan düzeltmedir. Tam denklem, integrali zaten hazır olan denklemdir. Bu nedenle integral tekniklerindeki eksik, doğrudan bu derste görünür.

Beşinci bağ modelleme dilidir. Aynı denklem farklı alanlarda görünür. y' = ky bozunma, büyüme ve faizdir. m y'' + c y' + k y = f(t) hem yay-kütle sistemi hem RLC devresidir. Denklem çözüldüğünde bütün bu sistemler birlikte çözülmüş olur.

Dersin sınırı da belirtilmelidir. Buradaki yöntemler kapalı çözüm üretir ve dar bir denklem sınıfında çalışır. Gerçek problemlerin çoğu bu sınıfın dışındadır. Sonraki adımlar Laplace dönüşümü, seri çözümler ve sayısal yöntemlerdir. Euler ve Runge-Kutta yöntemleri, kapalı çözümü olmayan denklemleri yaklaşık olarak çözer.

Kavramsal Ayrımlar

Akılda tutulması gereken ayrımlar şunlardır:

Adi ≠ kısmi diferansiyel denklem. Bağımsız değişken sayısı belirleyicidir.

Mertebe ≠ derece. Mertebe en yüksek türevin sırası, derece o türevin üssüdür.

Lineer ≠ birinci mertebeden. Lineerlik bağımlı değişkene bakar, mertebe türeve.

Homojen denklem ≠ homojen lineer denklem. İlki y/x oranına bağlılıktır, ikincisi f(x) = 0 olmasıdır. İki kavram aynı derste farklı anlamda kullanılır.

Genel çözüm ≠ bütün çözümler. Tekil çözüm genel çözümün dışında kalabilir.

Keyfi sabit sayısı = mertebe. İkinci mertebeden denklemin genel çözümü iki sabit içerir.

Başlangıç değer ≠ sınır değer problemi. İlkinde koşullar tek noktada, ikincisinde farklı noktalardadır.

Başlangıç değer probleminde varlık ve teklik uygun koşullara bağlıdır. Sınır değer probleminde ise çözüm olmayabilir, tek olabilir veya birden çok çözüm bulunabilir.

Denklem yazmak ≠ çözümün var olması. Varlık ve teklik ayrıca sınanır.

Tamlık ölçütü ∂M/∂y = ∂N/∂x'tir. Ters yazılırsa sonuç bozulur.

İntegrasyon çarpanının iki durumu farklı işaret taşır. Birincide N'ye, ikincide M'ye bölünür.

Bölme yapılan yer denetlenmelidir. Ayırma sırasında sabit çözümler kaybolabilir.

Bernoulli denklemi lineer değildir. Dönüşümle lineere indirgenir.

yₕ ≠ yö. Homojen çözüm sabit içerir, özel çözüm içermez.

Üst üste binme yalnız lineer denklemlerde geçerlidir.

Wronskian ≠ determinant sınaması genelde. Sıfırdan farklı olması bağımsızlığı gösterir.

Çakışık kökte x çarpanı zorunludur. Aksi halde iki çözüm aynı olur.

Karmaşık kök ≠ karmaşık çözüm. Reel katsayılı denklemin çözümü reel yazılır.

Aşırı sönümlü ≠ kritik sönümlü. Kritik sönüm, salınımsız dönüşün en hızlı halidir.

Belirsiz katsayılar ≠ sabitlerin değişimi. İlki hızlı ve dar, ikincisi yavaş ve geneldir.

Sinüs varsa kosinüs de yazılır. Deneme fonksiyonu eksik bırakılamaz.

Deneme fonksiyonu homojen çözümde varsa x ile çarpılır. Çarpan derecesi kökün katlılığına eşittir.

L(a) = 0 durumu kuralı geçersiz kılmaz, düzeltilmiş kural kullanılır.

Operatör yöntemi yalnız sabit katsayılı denklemlerde geçerlidir. L(D) polinomunun çarpanları ancak bu durumda yer değiştirir.

Rezonans üç ayrı yöntemde aynı olgudur. Tekrarlı kök, sıfırlanan payda ve homojen çözümdeki deneme fonksiyonu aynı şeyi söyler.

Bu ayrımlar kavrandığında dersin konuları tek bir indirgeme stratejisi çerçevesinde yerine oturur.

Kaynakça

• Ahmet Yesevi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. Diferansiyel Denklemler (TBIL204) ders materyalleri.
• William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11th Edition. Wiley, 2017.
• Dennis G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th Edition. Cengage, 2018.
• Morris Tenenbaum, Harry Pollard. Ordinary Differential Equations. Dover, 1985.
• George F. Simmons. Differential Equations with Applications and Historical Notes, 3rd Edition. CRC Press, 2016.
• Ernst Hairer, Syvert P. Nørsett, Gerhard Wanner. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd Revised Edition. Springer, 1993.