# Nümerik Analiz: Sayısal Çözümleme Yöntemleri

> Hata analizi, matris yöntemleri, lineer ve doğrusal olmayan denklem sistemleri, kök bulma ve interpolasyon yöntemlerini kapsayan sayısal çözümleme ders notları.

- Author: Muhammet Ali Köker
- Language: tr
- Canonical: https://alikoker.com.tr/numerik-analiz-sayisal-cozumleme-yontemleri
- Translation: https://alikoker.com.tr/en/numerical-analysis-computational-methods
- Published: 2014-11-16T18:40:00+03:00
- Modified: 2026-08-09T00:12:00+03:00
- Verified: 2026-08-09T00:12:00+03:00
- Type: article

Sayısal çözümleme notlarını 2013-2014 dönemindeki Bilgisayar Mühendisliği lisans dersleri sırasında hazırladım. Güncel sürüm, hata analizinden lineer ve doğrusal olmayan denklem çözümlerine, kök bulma ve interpolasyona uzanan özgün ders akışını korurken yöntemlerin yakınsama ve uygulanma koşullarını yeniden gözden geçirmektedir.

## Ünite 1: Sayısal Çözümlemeye Giriş

### Dersin konusu

**Sayısal çözümleme**, matematiksel problemlere yaklaşık çözüm üreten yöntemleri inceler.

Gerekçesi şudur: birçok problemin kapalı biçimde çözümü yoktur. Beşinci dereceden genel bir polinomun kökü, e^(−x²) fonksiyonunun integrali ve büyük denklem sistemleri bu sınıftadır.

Yaklaşık çözüm, kesin çözümün kötü bir taklidi değildir. Hata denetim altında tutulduğu sürece yeterli çözümdür. Mühendislik hesaplarında girdi verisi zaten sonlu duyarlıktadır.

Yöntemlerin ortak yapısı şudur: bir başlangıç değeri seçilir, bir kural yinelenir, hata belirli bir eşiğin altına indiğinde durulur.

### Kuvvet serileri

Kuvvet serisi, sabit katsayılarla kurulan sonsuz polinomdur:

```text
f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...
```

Sayısal çözümlemedeki işlevi şudur: karmaşık bir fonksiyon, yalnız toplama ve çarpma içeren bir ifadeye dönüştürülür. İşlemci bu iki işlemi doğrudan yapar.

Sinüs, üstel ve logaritma hesapları donanım düzeyinde bu yaklaşımla yürütülür.

### Maclaurin serisi

Fonksiyon x = 0 noktası çevresinde açılır. Katsayılar ardışık türevlerden bulunur.

```text
f(x) = f(0) + f'(0)·x + f''(0)·x²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(0)·xⁿ/n! + ...
```

Türetimi şöyledir: seri açılımının x = 0 noktasındaki değeri a₀ katsayısını verir. Türev alınıp x = 0 konursa a₁ bulunur. İşlem yinelenerek genel katsayı elde edilir.

Sık kullanılan açılımlar:

```text
eˣ    = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − ...
1/(1−x) = 1 + x + x² + x³ + ...
```

### Taylor serisi

Açılım noktası sıfırdan farklı bir a noktasıysa Taylor serisi elde edilir:

```text
f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n! + ...
```

Maclaurin serisi, a = 0 alınmış Taylor serisidir.

Açılım noktası, ilgilenilen bölgeye yakın seçilir. Uzaklaştıkça aynı terim sayısıyla elde edilen doğruluk düşer.

Yakınsaklık her x için sağlanmayabilir. Yakınsaklık aralığının dışında seri kullanılamaz.

### Serilerde hata terimi

Uygulamada seri sonlu sayıda terimde kesilir. Atılan kısma **kalan terim** denir.

Lagrange biçimi şudur:

```text
Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) · (x−a)ⁿ⁺¹ / (n+1)!,   ξ ∈ (a, x)
```

ξ noktası bilinmez. Bu nedenle kalan terim tam olarak hesaplanmaz; üstten sınırlanır. Türevin ilgili aralıktaki en büyük mutlak değeri kullanılır.

Bu sınır, hesaba dahil edilecek terim sayısını belirler. İstenen doğruluk verildiğinde n değeri buradan çözülür.

Alterne serilerde kestirim daha basittir. Kalan, ilk ihmal edilen terimden büyük değildir.

### Polinom yaklaştırma

Bir fonksiyonu polinomla temsil etmek, sayısal çözümlemenin temel stratejisidir.

Nedeni şudur: polinomların türevi, integrali ve değeri kolayca hesaplanır. Herhangi bir sürekli fonksiyon, kapalı bir aralıkta polinomla istenen doğrulukta yaklaşılabilir.

Yaklaşım iki biçimde kurulur. Taylor açılımı tek bir nokta çevresinde türev bilgisini kullanır. İnterpolasyon, birden çok noktadaki fonksiyon değerini kullanır. İkincisi 5. ünitenin konusudur.

### Hata türleri

**Mutlak hata**, gerçek değer ile yaklaşık değer arasındaki farkın mutlak değeridir:

```text
Eₐ = |x − x̃|
```

**Bağıl hata**, mutlak hatanın gerçek değere oranıdır:

```text
Eᵣ = |x − x̃| / |x|
```

Bağıl hata birimsizdir ve ölçek bağımsızdır. Büyüklükleri farklı sonuçların karşılaştırılmasında kullanılan ölçüt budur.

Kaynağına göre üç hata sınıfı ayrılır:

- **Modelleme hatası**: fiziksel olayın matematiksel modele indirgenmesinde yapılan basitleştirmeden doğar.
- **Kesme hatası** (truncation): sonsuz bir işlemin sonlu sayıda adımda kesilmesinden doğar. Seri kesmesi ve iterasyonun sonlandırılması bu sınıftadır.
- **Yuvarlama hatası** (round-off): sayıların sonlu basamakla temsil edilmesinden doğar.

İlk iki hata yöntem seçimiyle azaltılır. Üçüncüsü donanımın sayı gösterimine bağlıdır.

### Yaklaşık hata

Uygulamada gerçek değer bilinmez. Bu durumda ardışık iki yaklaşım karşılaştırılır:

```text
Eₐ = |xₖ − xₖ₋₁|
Eᵣ = |xₖ − xₖ₋₁| / |xₖ|
```

Buna **yaklaşık bağıl hata** denir. Gerçek hatanın yerine kullanılır.

Ölçüt dolaylıdır. Ardışık iki değerin yakın olması, kökün bulunduğunu kesin olarak göstermez. Çok yavaş yakınsayan bir dizide adımlar küçüktür ama gerçek hata büyük olabilir.

### İterasyonlarda hata denetimi

Yineleme, hata belirli bir eşiğin altına indiğinde durdurulur.

```text
|xₖ − xₖ₋₁| / |xₖ| < ε
```

ε değerine **kabul edilebilir hata** ya da tolerans denir.

Uygulamada üç durdurma ölçütü birlikte kullanılır:

1. Bağıl hata toleransın altına indi.
2. Fonksiyon değeri sıfıra yeterince yaklaştı.
3. Belirlenen en büyük yineleme sayısına ulaşıldı.

Üçüncü ölçüt zorunludur. Yöntem yakınsamıyorsa döngü sonsuza gider. Her sayısal algoritmada yineleme sayısı için üst sınır konur.

Bağıl hata ölçütünde xₖ değeri sıfıra yakınsa bölme sorunlu olur. Bu durumda mutlak hata ölçütü kullanılır.

### Yuvarlama hataları

Bilgisayar, reel sayıları sonlu sayıda bit ile temsil eder. Bu gösterime **kayan nokta** denir ve IEEE 754 standardıyla tanımlıdır.

Çift duyarlıklı gösterimde mantis 52 bit taşır. Bu, yaklaşık 16 anlamlı ondalık basamağa karşılık gelir.

Temsil edilebilen en küçük göreli fark **makine epsilonudur**. Çift duyarlıkta yaklaşık 2,2 × 10⁻¹⁶ değerindedir.

Doğrudan sonuçları şunlardır:

- 0,1 sayısı ikili tabanda tam olarak gösterilemez. Ondalık kesirlerin çoğu yaklaşıktır.
- Kayan nokta toplaması birleşmeli değildir. Terimlerin sıralaması sonucu değiştirir.
- Eşitlik karşılaştırması güvenilir değildir. Karşılaştırma tolerans üzerinden yapılır.

**Yıkıcı sadeleşme**, birbirine çok yakın iki sayının çıkarılmasında ortaya çıkar. Anlamlı basamaklar birbirini götürür ve kalan sonuç yuvarlama gürültüsünden ibaret olur.

Klasik örnek ikinci derece denklemin kök formülüdür. b² değeri 4ac değerine yakınsa köklerden biri hassasiyetini kaybeder. Çözüm, kökü çarpanların ilişkisinden türetmektir.

Hataların yığılması da önemlidir. Çok adımlı bir hesapta her adımın küçük hatası birikir. Hatanın adım sayısıyla nasıl büyüdüğü, algoritmanın **kararlılığını** belirler.

## Ünite 2: Matrisler

### Matris kavramı

Sayıların dikdörtgen düzende dizilmesiyle oluşan tabloya **matris** denir. m satır ve n sütundan oluşan matris m × n boyutludur.

Sayısal çözümlemede matris, denklem sistemlerinin taşıyıcısıdır. Bütün doğrusal problemler matris işlemlerine indirgenir.

### Toplama ve skalerle çarpma

İşlemler eleman bazında tanımlıdır ve yalnız aynı boyutlu matrislerde yapılır.

```text
(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
(cA)ᵢⱼ = c · aᵢⱼ
```

Toplama değişmeli ve birleşmelidir.

### Matris çarpımı

```text
(AB)ᵢⱼ = Σ aᵢₖ · bₖⱼ
```

A matrisinin sütun sayısı, B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

Özellikler:

```text
(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
AI = IA = A
(AB)ᵀ = Bᵀ Aᵀ
```

Çarpım değişmeli değildir. AB = 0 olması çarpanlardan birinin sıfır olmasını gerektirmez. Sadeleştirme kuralı geçerli değildir.

Klasik algoritma n³ çarpma yapar. Bu maliyet, sayısal doğrusal cebirdeki bütün yoğun yöntemlerin temel ölçüsüdür.

### Özel matrisler

**Devrik (transpoze) matris**: satır ve sütunlar yer değiştirir. (Aᵀ)ᵀ = A olur.

**Simetrik matris**: Aᵀ = A koşulunu sağlar. Yalnız köşegenin bir yanı saklanabildiği için bellek yarıya iner.

**Üçgen matris**: köşegenin bir yanındaki elemanlar sıfırdır. Üst ve alt üçgen olmak üzere iki türü vardır.

Üçgen matrislerin önemi şudur: üçgen bir sistem geriye ya da ileriye yerine koymayla n² işlemde çözülür. Eliminasyon yöntemlerinin tümü, sistemi bu biçime getirmeyi amaçlar.

**Köşegen matris**: köşegen dışındaki bütün elemanlar sıfırdır.

**Birim matris**: köşegen elemanları 1 olan köşegen matristir. Çarpma işleminin birim elemanıdır.

**Alt matris**: bazı satır ve sütunlar silinerek elde edilir. Minör ve blok işlemlerinde kullanılır.

### Elemanter satır işlemleri

Üç işlem tanımlıdır:

1. İki satırın yeri değiştirilir.
2. Bir satır sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır.
3. Bir satırın katı başka bir satıra eklenir.

Bu işlemler denklem sisteminin çözüm kümesini değiştirmez.

### Gauss yok etme yöntemi

Matris, elemanter satır işlemleriyle üst üçgen biçime getirilir.

Her adımda köşegen elemanı **pivot** olarak alınır. Altındaki elemanlar, uygun katsayıyla çarpılan pivot satırı çıkarılarak sıfırlanır.

```text
mᵢₖ = aᵢₖ / aₖₖ
satır(i) = satır(i) − mᵢₖ · satır(k)
```

Yöntemin işlem sayısı yaklaşık n³/3 çarpmadır. Doğrudan çözüm yöntemlerinin ölçütü budur.

### LU ayrıştırma

Gauss yok etme işlemi kaydedilirse matris iki çarpana ayrılır:

```text
A = L · U
```

L alt üçgen, U üst üçgen matristir. L matrisinin köşegeni 1 alınırsa ayrıştırma tektir (Doolittle biçimi). U matrisinin köşegeni 1 alınırsa Crout biçimi elde edilir.

Sistem iki adımda çözülür:

```text
A·x = b  ⟹  L·y = b   (ileri yerine koyma)
             U·x = y   (geri yerine koyma)
```

Yöntemin asıl üstünlüğü şudur: aynı A matrisiyle farklı sağ taraflar çözülecekse ayrıştırma bir kez yapılır. Her yeni b vektörü için yalnız n² işlem gerekir. Gauss yok etme her seferinde baştan n³/3 işlem isterdi.

Ayrıştırma, determinant ve ters matris hesabında da kullanılır.

### Cholesky ayrıştırma

Matris simetrik ve pozitif tanımlıysa daha ekonomik bir ayrıştırma vardır:

```text
A = L · Lᵀ
```

Yalnız bir üçgen çarpan hesaplanır. İşlem sayısı LU ayrıştırmasının yarısıdır.

Uygulanabilirlik koşulu şudur: matris simetrik olmalı ve bütün özdeğerleri pozitif olmalıdır. Ayrıştırma sırasında karekök altında negatif bir değer çıkması, matrisin pozitif tanımlı olmadığını gösterir. Bu, koşulun pratik sınamasıdır.

En küçük kareler problemleri ve kovaryans matrisleri bu sınıftadır.

### Matris normları

Bir matrisin ya da vektörün büyüklüğünü ölçen sayıya **norm** denir. ||A|| ile gösterilir.

Norm şu özellikleri sağlar:

```text
||A|| ≥ 0,  ||A|| = 0 ⟺ A = 0
||cA|| = |c| · ||A||
||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||
```

Vektör normları:

```text
||x||₁ = Σ|xᵢ|                    toplam normu
||x||₂ = √(Σxᵢ²)                  Öklid normu
||x||∞ = maks|xᵢ|                 en büyük eleman normu
```

Matris normları:

```text
||A||₁ = maks sütun mutlak toplamı
||A||∞ = maks satır mutlak toplamı
||A||F = √(Σ Σ aᵢⱼ²)              Frobenius normu
```

Normların işlevi, hatanın büyüklüğünü tek bir sayıya indirmektir. Vektör biçimindeki hata doğrudan karşılaştırılamaz; normu karşılaştırılır.

**Koşul sayısı** buradan tanımlanır:

```text
κ(A) = ||A|| · ||A⁻¹||
```

Koşul sayısı, girdi verisindeki bağıl hatanın çözümde en fazla kaç katına çıkabileceğini gösterir.

Koşul sayısı büyükse sistem **kötü koşulludur**. Katsayılardaki küçük değişim çözümü belirgin biçimde kaydırır. Bu, algoritma hatası değil, problemin kendi özelliğidir. Daha iyi bir yöntemle giderilemez.

### Determinantlar

Kare matrise karşılık gelen tek bir sayıdır.

İki ve üç boyutlu durumlarda doğrudan formül kullanılır. Daha büyük boyutlarda minör ve kofaktör açılımı uygulanır.

**Minör** Mᵢⱼ, ilgili satır ve sütun silindikten sonra kalan alt matrisin determinantıdır. Kofaktör, minöre (−1)^(i+j) işaret çarpanının eklenmiş halidir.

Özellikler:

1. Bir satır ya da sütun tümüyle sıfırsa determinant sıfırdır.
2. İki satır yer değiştirirse işaret değişir.
3. İki satır aynı ya da orantılıysa determinant sıfırdır.
4. Bir satırın katının başka bir satıra eklenmesi determinantı değiştirmez.
5. Üçgen matrisin determinantı köşegen çarpımıdır.
6. det(AB) = det(A)·det(B).
7. det(Aᵀ) = det(A).

### Gauss yöntemiyle determinant

Determinant hesabının pratik yolu şudur. Matris satır işlemleriyle üst üçgen biçime getirilir. Köşegen elemanları çarpılır.

Satır değişimi yapıldıysa her değişim için işaret çevrilir.

Maliyet karşılaştırması nettir. Kofaktör açılımı n! mertebesinde işlem yapar; Gauss yöntemi n³/3 mertebesinde. On boyutlu bir matriste fark milyonlarca çarpmadır.

LU ayrıştırması yapılmışsa determinant U matrisinin köşegen çarpımıdır. Ek maliyet yoktur.

### CHIO yöntemi

Determinantın boyutunu adım adım bir azaltan yöntemdir.

Pivot eleman seçilir. Kalan her eleman, pivotla oluşturduğu iki boyutlu determinantla değiştirilir. Elde edilen matrisin determinantı, pivotun uygun kuvvetine bölünür.

```text
det(A) = det(A') / a₁₁^(n−2)
```

Pivotun sıfır olmaması gerekir. Sıfırsa satır değişimi yapılır ve işaret düzeltilir.

Yöntem elle hesapta işlem yükünü azaltır. Bilgisayar uygulamasında Gauss yöntemi tercih edilir; bölme sayısı daha az olduğu için yuvarlama hatası da küçüktür.

### Ters matris

AB = BA = I sağlayan B matrisine A matrisinin tersi denir. Tersi olmayan matrise **tekil** denir.

```text
(A⁻¹)⁻¹ = A
(AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹
(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
det(A⁻¹) = 1 / det(A)
```

**Minörler matrisiyle hesap**: kofaktörler matrisinin devriği alınır ve determinanta bölünür.

```text
A⁻¹ = adj(A) / det(A)
```

Formül kapalıdır ancak n² adet kofaktör hesabı gerektirir. Yalnız küçük boyutlarda kullanılır.

**Gauss yok etme ile hesap**: [A | I] matrisi satır işlemleriyle [I | A⁻¹] biçimine getirilir. Sol taraf birim matrise dönüşmüyorsa matris tekildir.

**LU ayrıştırma ile hesap**: ayrıştırma bir kez yapılır. Birim matrisin her sütunu sağ taraf olarak alınır ve n adet sistem çözülür. Sonuçlar ters matrisin sütunlarını oluşturur.

Uygulamada bir uyarı geçerlidir. Bir lineer denklem sistemini çözmek için ters matrisi açıkça hesaplamak genellikle gerekli değildir. Uygun pivotlama veya ayrıştırma kullanan doğrudan çözüm yöntemleri çoğu durumda daha az işlem ve daha iyi sayısal davranış sağlar. Ters matris, yalnız kendisi gerekli olduğunda hesaplanır.

## Ünite 3: Doğrusal Denklem Sistemleri

### Sistemin yapısı

n bilinmeyenli m denklemden oluşan sistem matris biçiminde yazılır:

```text
A · x = b
```

b vektörü sıfırsa sistem **homojendir**. Homojen sistemin her zaman aşikâr çözümü vardır.

### Çözüm kuralları

Çözüm durumu rank ölçütüyle belirlenir. Katsayılar matrisi A, artırılmış matris [A|b] olsun.

```text
r(A) ≠ r([A|b])           →  çözüm yok
r(A) = r([A|b]) = n       →  tek çözüm
r(A) = r([A|b]) = k < n   →  sonsuz çözüm
```

Kare sistemlerde bu ölçüt determinanta indirgenir. det(A) ≠ 0 ise tek çözüm vardır.

### Cramer yöntemi

```text
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
```

Aᵢ matrisi, i. sütunun b vektörüyle değiştirilmesiyle elde edilir.

Yöntem kapalı bir formül verir. Sayısal uygulamada kullanılmaz. n+1 determinant hesaplanır ve maliyet, eliminasyona göre kat kat yüksektir.

Küçük sistemlerde ve tek bir bilinmeyen istendiğinde elverişlidir.

### Gauss yok etme yöntemi

Artırılmış matris üst üçgen biçime getirilir. Sonra geriye yerine koyma yapılır.

```text
xₙ = bₙ / aₙₙ
xᵢ = ( bᵢ − Σ aᵢⱼxⱼ ) / aᵢᵢ,   j > i
```

Yöntem sonlu adımda biter. Bu nedenle **doğrudan yöntem** sınıfındadır.

İşlem sayısı yaklaşık n³/3 çarpmadır. Geriye yerine koyma n²/2 işlem alır ve toplam maliyette baskın değildir.

### Pivot işlemi

Köşegen elemanın sıfır olması bölmeyi olanaksız kılar. Sıfıra yakın olması ise çarpanları büyütür ve yuvarlama hatasını şişirir.

**Kısmi pivotlama**, ilgili sütundaki en büyük mutlak değerli elemanı pivot yapacak biçimde satır değişimi uygular.

**Tam pivotlama**, hem satır hem sütun değişimi yapar. Daha kararlıdır, sütun değişimi bilinmeyen sırasını da değiştirdiği için ek kayıt gerektirir.

Uygulamada kısmi pivotlama standarttır. Kararlılık kazancı, ek maliyetin çok üzerindedir.

Pivotlama sayısal bir önlemdir, matematiksel bir gereklilik değildir. Tam aritmetikte sonucu değiştirmez; sonlu duyarlıkta belirleyicidir.

### Gauss-Jordan yöntemi

Eliminasyon ileri götürülür. Pivotlar 1 yapılır ve pivotun hem altındaki hem üstündeki elemanlar sıfırlanır.

Katsayılar kısmı birim matrise dönüşür. Sağ sütun doğrudan çözümü verir; geriye yerine koyma gerekmez.

İşlem sayısı yaklaşık n³/2'dir. Gauss yönteminden yaklaşık yüzde elli daha pahalıdır. Buna karşılık ters matris hesabında ve çözüm yapısının okunmasında elverişlidir.

### LU ayrıştırma yöntemiyle çözüm

Matris L ve U çarpanlarına ayrılır. Sistem iki üçgen sistem olarak çözülür.

Ayrıştırma maliyeti Gauss yok etmeyle aynıdır. Kazanç, çok sayıda sağ taraf çözüldüğünde ortaya çıkar.

Bu durum uygulamada sıktır. Zamana bağlı benzetimlerde her adımda aynı katsayı matrisi, farklı sağ tarafla çözülür.

### Cholesky yöntemiyle çözüm

Matris simetrik ve pozitif tanımlıysa A = L·Lᵀ ayrıştırması kullanılır.

Çözüm yine iki üçgen sistemdir. İşlem sayısı LU ayrıştırmasının yarısıdır.

Ek üstünlüğü kararlılıktır. Pozitif tanımlı matrislerde pivotlama gerekmez.

### İterasyon yöntemleri

Doğrudan yöntemler sonlu adımda kesin sonuca ulaşır. **İteratif yöntemler** bir başlangıç tahmininden başlar ve çözüme yaklaşan bir dizi üretir.

Tercih nedeni boyuttur. Büyük ve **seyrek** sistemlerde doğrudan yöntemler uygulanamaz. Eliminasyon sırasında sıfır konumlar dolar ve bellek yetmez.

İteratif yöntemler matrisi değiştirmez. Yalnız matris-vektör çarpımı yapar. Seyrek matrisin sıfırdan farklı elemanları saklandığından bellek kullanımı düşük kalır.

Kısmi diferansiyel denklemlerin ayrıklaştırılmasından doğan sistemler bu sınıftadır.

### Yakınsama koşulu

İterasyon her başlangıç değeri için yakınsamayabilir.

Yeterli koşul **köşegen baskınlıktır**. Her satırda köşegen elemanın mutlak değeri, o satırdaki diğer elemanların mutlak değerleri toplamından büyük olmalıdır:

```text
|aᵢᵢ| > Σ |aᵢⱼ|,   j ≠ i
```

Koşul yeterlidir, gerekli değildir. Sağlanmıyorsa yöntem yine yakınsayabilir.

Koşul sağlanmıyorsa denklemlerin sırası değiştirilerek sağlanması denenir. Bu, sistemin çözümünü değiştirmez.

Genel ölçüt, iterasyon matrisinin spektral yarıçapının birden küçük olmasıdır.

### Jacobi yöntemi

Her denklemden bir bilinmeyen çekilir. Yeni değerler, bir önceki adımın değerlerinden hesaplanır:

```text
xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = ( bᵢ − Σ aᵢⱼ·xⱼ⁽ᵏ⁾ ) / aᵢᵢ,   j ≠ i
```

Bütün bileşenler eski vektörden hesaplanır. Bu nedenle iki vektör bellekte tutulur.

Yöntem doğal olarak paraleldir. Her bileşen bağımsız hesaplanır.

### Gauss-Seidel yöntemi

Jacobi yönteminin tek değişiklikle geliştirilmiş halidir. Hesaplanan yeni değerler, aynı adım içinde hemen kullanılır:

```text
xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = ( bᵢ − Σ aᵢⱼ·xⱼ⁽ᵏ⁺¹⁾ − Σ aᵢⱼ·xⱼ⁽ᵏ⁾ ) / aᵢᵢ
```

İlk toplam j < i, ikinci toplam j > i içindir.

Genelde Jacobi yönteminden hızlı yakınsar. Tek bir vektör yeterli olduğu için bellek kullanımı da azdır.

Karşılığında ardışıklık vardır. Bileşenler sırayla hesaplanmalıdır; paralelleştirme doğrudan yapılamaz.

Yakınsama hızı, gevşetme çarpanı eklenerek artırılabilir. Bu değişkeye **ardışık aşırı gevşetme** denir ve uygun parametre seçiminde yineleme sayısını belirgin biçimde düşürür.

## Ünite 4: Doğrusal Olmayan Denklemler

### Problem ve yöntem sınıfları

f(x) = 0 denkleminin köklerini bulmak istenir.

Doğrusal olmayan denklemlerin çoğunda kapalı çözüm yoktur. Beşinci ve daha yüksek dereceden genel polinomlar için kök formülü olmadığı ispatlanmıştır. Üstel ve trigonometrik terim içeren denklemlerde durum daha da kısıtlıdır.

Yöntemler iki sınıfa ayrılır:

- **Kapalı yöntemler**: kökü çevreleyen bir aralıkla başlar ve aralığı daraltır. Süreklilik ve işaret değişimi gibi gerekli koşullar sağlandığında kökü aralık içinde tutarlar. Yarılama ve regula-falsi bu sınıftadır.
- **Açık yöntemler**: bir ya da iki başlangıç noktasıyla başlar. Uygun başlangıçlarda hızlı yakınsayabilir; genel bir yakınsama garantisi yoktur. Sabit nokta, Newton-Raphson, sekant ve Müller bu sınıftadır.

Her yöntemde ilk adım kökün yerini kabaca belirlemektir. Fonksiyonun grafiği çizilir ya da işaret değişimi taranır.

### Yarılama yöntemi

Dayanağı ara değer teoremidir. f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve f(a)·f(b) < 0 ise aralıkta en az bir kök vardır.

Algoritma şudur:

```text
1. c = (a + b) / 2 hesaplanır.
2. f(a)·f(c) < 0 ise kök sol yarıdadır: b = c.
   Değilse kök sağ yarıdadır: a = c.
3. Aralık genişliği toleransın altına ininceye kadar yinelenir.
```

Her adımda aralık yarıya iner. k adım sonra genişlik şudur:

```text
|b − a| / 2ᵏ
```

Gerekli yineleme sayısı baştan hesaplanabilir:

```text
k ≥ log₂( |b − a| / ε )
```

Bu, yöntemin önemli bir üstünlüğüdür. Yarılama yönteminde, başlangıç aralığı ve hedef tolerans bilindiğinde gerekli adım sayısına doğrudan bir üst sınır verilebilir.

Yakınsama **doğrusaldır**. Her adım yaklaşık bir ikili basamak kazandırır. Ondalık basamak başına yaklaşık üç buçuk adım gerekir.

Yöntem çift katlı kökleri bulamaz. Bu köklerde fonksiyon işaret değiştirmez.

### İterasyonların sonlandırılması

Üç ölçüt kullanılır:

```text
|b − a| < ε                aralık genişliği
|xₖ − xₖ₋₁| / |xₖ| < ε     bağıl değişim
|f(xₖ)| < δ                fonksiyon değeri
```

Üçüncü ölçüt tek başına yanıltıcıdır. Fonksiyon kök çevresinde çok yatıksa, f(x) değeri küçük olduğu halde x değeri kökten uzak olabilir.

Buna karşılık fonksiyon dikse f(x) büyük kalır ama x köke yakındır.

Bu nedenle en az iki ölçüt birlikte ve yineleme sayısı üst sınırıyla kullanılır.

### Regula-falsi yöntemi

Yarılama yöntemi aralığı ortadan böler. Regula-falsi, fonksiyon değerlerini de hesaba katar.

Uç noktaları birleştiren kirişin x eksenini kestiği nokta alınır:

```text
c = ( a·f(b) − b·f(a) ) / ( f(b) − f(a) )
```

Aralık güncellemesi yarılama yöntemiyle aynıdır.

Genelde yarılama yönteminden hızlıdır. Kapalı yöntem olduğundan yakınsama garantilidir.

Zayıflığı şudur: fonksiyon güçlü biçimde bükeyse uç noktalardan biri sabit kalır. Aralık tek yönden daralır ve yakınsama yavaşlar. Bu duruma **tek yanlı yakınsama** denir.

Değiştirilmiş biçimlerde sabit kalan uçtaki fonksiyon değeri yarıya indirilerek bu sorun giderilir.

### Sabit nokta iterasyonu

Denklem şu biçime dönüştürülür:

```text
f(x) = 0  ⟹  x = g(x)
```

Yineleme doğrudan yazılır:

```text
xₖ = g(xₖ₋₁)
```

Bir denklem birden çok g(x) biçiminde yazılabilir. Seçim sonucu belirler.

**Yakınsama koşulu** şudur: kökün bir komşuluğunda |g'(x)| < 1 olmalıdır.

Türev birden büyükse yineleme kökten uzaklaşır. Aynı denklemin bir düzenlemesi yakınsarken diğeri ıraksayabilir.

Yakınsama doğrusaldır. Hata her adımda yaklaşık g'(x) çarpanıyla küçülür.

Yöntem, diğer açık yöntemlerin kuramsal çatısıdır. Newton-Raphson ve sekant yöntemleri özel g(x) seçimleridir.

### Newton-Raphson yöntemi

En yaygın kullanılan kök bulma yöntemidir.

Fonksiyon, mevcut noktadaki teğetiyle yaklaşılır. Teğetin x eksenini kestiği nokta yeni yaklaşım olur:

```text
xₖ₊₁ = xₖ − f(xₖ) / f'(xₖ)
```

Taylor açılımının birinci mertebeden kesilmesiyle de türetilir.

Basit bir kökün yeterince yakınında ve gerekli türev koşulları altında yakınsama **karesel** olabilir. Bu yerel davranış yöntemin temel üstünlüğüdür.

Koşulları ve zayıflıkları şunlardır:

- Türev hesaplanabilir olmalıdır. Analitik türev yoksa yöntem doğrudan uygulanamaz.
- Türev sıfıra yakınsa adım aşırı büyür ve yineleme uzaklaşır.
- Başlangıç noktası kötü seçilirse yöntem ıraksayabilir ya da başka bir köke gidebilir.
- Çok katlı köklerde yakınsama karesel olmaktan çıkar, doğrusala düşer.

Uygulamada karma yaklaşım kullanılır. Yarılama yöntemiyle kök daraltılır, sonra Newton-Raphson ile hızla sonuçlandırılır. Brent yöntemi bu birleşimin standartlaşmış halidir.

### Sekant yöntemi

Newton-Raphson yönteminde türev yerine iki nokta arasındaki fark oranı kullanılır:

```text
xₖ₊₁ = xₖ − f(xₖ)·(xₖ − xₖ₋₁) / ( f(xₖ) − f(xₖ₋₁) )
```

Türev hesabı ortadan kalkar. İki başlangıç noktası gerekir.

Regula-falsi yöntemine benzer görünür. Ayrım şudur: sekant yönteminde işaret koşulu aranmaz. Yeni nokta son iki yaklaşımdan hesaplanır. Bu nedenle açık yöntemdir; uygun başlangıçlarda hızlı yakınsayabilse de genel yakınsama garantisi yoktur.

Yakınsama mertebesi yaklaşık 1,618'dir. Newton-Raphson'dan yavaş, doğrusal yöntemlerden hızlıdır.

Adım başına yalnız bir fonksiyon değerlendirmesi yapar. Türev hesabı pahalıysa toplam maliyette Newton-Raphson'dan üstün olabilir.

### Müller yöntemi

Sekant yöntemi iki noktadan doğru geçirir. Müller yöntemi üç noktadan parabol geçirir.

Parabolün x eksenini kestiği nokta yeni yaklaşım olur. İkinci derece denklem çözüldüğü için iki kök çıkar; mevcut noktaya yakın olan seçilir.

Kök formülü, sadeleşme hatasından kaçınmak için paydası büyük olacak biçimde düzenlenmiş halde kullanılır.

Üstünlüğü şudur: karekök altındaki ifade negatif olabilir. Bu durumda yöntem karmaşık köke geçer. Reel başlangıç noktalarıyla karmaşık kök bulunabilir.

Polinom köklerinin, özellikle karmaşık köklerin aranmasında kullanılabilir. Uygun koşullarda yakınsama mertebesi yaklaşık 1,84'tür; bu değer sekant yönteminden yüksek, Newton-Raphson yönteminin karesel mertebesinden düşüktür.

### Yöntemlerin karşılaştırması

```text
Yöntem            Garanti   Mertebe   Türev   Başlangıç
yarılama          var       1,00      yok     2 nokta
regula-falsi      var       1,00      yok     2 nokta
sabit nokta       yok       1,00      yok     1 nokta
Newton-Raphson    yok       2,00      var     1 nokta
sekant            yok       1,62      yok     2 nokta
Müller            yok       1,84      yok     3 nokta
```

Seçim ölçütü şudur: türev ucuzsa Newton-Raphson, pahalıysa sekant, güvenlik önceliliyse yarılama, karmaşık kök aranıyorsa Müller kullanılır.

## Ünite 5: İnterpolasyon

### Problem

Elde yalnız ayrık noktalarda değeri bilinen bir fonksiyon vardır. Ara değerler istenmektedir.

**İnterpolasyon**, verilen noktaların tümünden geçen bir fonksiyon kurar ve ara değerleri bu fonksiyondan hesaplar.

Veri noktalarının dışındaki bir değer isteniyorsa buna **ekstrapolasyon** denir. Aynı polinom kullanılır ancak güvenilirliği çok düşüktür. Polinomlar veri aralığının dışında hızla ıraksar.

Temel sonuç şudur: n + 1 farklı noktadan geçen, en çok n. dereceden bir polinom vardır ve tektir.

Teklik önemlidir. Farklı yöntemler farklı biçimde yazılmış aynı polinomu üretir. Lagrange ve Newton biçimleri aynı polinomun iki gösterimidir.

### Basit yöntemle interpolasyon

Polinom genel biçimde yazılır ve katsayılar doğrusal denklem sisteminden çözülür.

```text
P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ
```

Her veri noktası bir denklem verir. n + 1 nokta, n + 1 bilinmeyenli sistem üretir.

**Doğrusal interpolasyon** iki nokta kullanır:

```text
P(x) = a₀ + a₁x
```

**Parabolik interpolasyon** üç nokta kullanır:

```text
P(x) = a₀ + a₁x + a₂x²
```

Sistem matris biçiminde yazılır. Katsayılar matrisi **Vandermonde matrisidir**.

Yöntem kavramsal olarak açıktır. Sayısal olarak sakıncalıdır. Vandermonde matrisi, nokta sayısı arttıkça hızla kötü koşullu hale gelir. Katsayılar duyarlılığını kaybeder.

Bu nedenle uygulamada Lagrange ya da Newton biçimi tercih edilir. İkisi de denklem sistemi çözmeden doğrudan polinomu verir.

### Lagrange interpolasyon yöntemi

Polinom, temel polinomların ağırlıklı toplamı olarak yazılır:

```text
P(x) = Σ yᵢ · Lᵢ(x)
```

Temel polinomlar şöyle kurulur:

```text
Lᵢ(x) = Π (x − xⱼ) / (xᵢ − xⱼ),   j ≠ i
```

Yapının anahtarı şudur: Lᵢ(x) polinomu kendi noktasında 1, diğer bütün noktalarda 0 değerini alır. Toplam bu nedenle her veri noktasında doğru değeri verir.

**Doğrusal biçim** (iki nokta):

```text
P(x) = y₀·(x − x₁)/(x₀ − x₁) + y₁·(x − x₀)/(x₁ − x₀)
```

**Parabolik biçim** (üç nokta): üç terimli karşılığı aynı kalıpla yazılır.

Üstünlüğü doğrudan yazılabilmesidir. Denklem sistemi kurulmaz.

Sakıncası şudur: yeni bir veri noktası eklendiğinde bütün temel polinomlar yeniden hesaplanır. Önceki hesap kullanılamaz.

### Newton interpolasyon polinomu

Polinom, artan dereceli terimlerin toplamı olarak kurulur:

```text
P(x) = b₀ + b₁(x−x₀) + b₂(x−x₀)(x−x₁) + ... 
```

Katsayılar **bölünmüş farklarla** hesaplanır:

```text
f[xᵢ] = yᵢ
f[xᵢ, xⱼ] = ( f[xⱼ] − f[xᵢ] ) / ( xⱼ − xᵢ )
f[xᵢ, xⱼ, xₖ] = ( f[xⱼ, xₖ] − f[xᵢ, xⱼ] ) / ( xₖ − xᵢ )
```

Katsayılar, bölünmüş fark tablosunun üst köşegenindeki değerlerdir.

```text
b₀ = f[x₀]
b₁ = f[x₀, x₁]
b₂ = f[x₀, x₁, x₂]
```

Asıl üstünlüğü **artırılabilir** olmasıdır. Yeni bir nokta eklendiğinde tabloya bir satır eklenir ve polinoma bir terim eklenir. Önceki terimler değişmez.

Bu özellik, derece artırarak doğruluk sınamak istendiğinde belirleyicidir.

Noktalar eşit aralıklıysa bölünmüş farklar ileri ve geri fark biçimlerine sadeleşir.

Hesaplanan polinom, Lagrange biçimiyle elde edilenin aynısıdır. Yalnız yazılışı farklıdır.

### Yüksek derecenin tehlikesi

Nokta sayısını artırmak doğruluğu artırmaz. Aksine bozabilir.

Eşit aralıklı noktalarda yüksek dereceli interpolasyon polinomu, aralığın uçlarında şiddetli salınım gösterir. Bu olguya **Runge olayı** denir.

Sonuç sezgiye aykırıdır: veri noktası eklendikçe polinom, gerçek fonksiyondan uzaklaşır.

İki çözüm kullanılır.

Birincisi nokta yerlerini değiştirmektir. Uçlarda sıklaşan Chebyshev düğümleri salınımı belirgin biçimde bastırır.

İkincisi ve yaygın olanı **parçalı interpolasyondur**. Tek bir yüksek dereceli polinom yerine, ardışık nokta grupları arasında düşük dereceli polinomlar kullanılır.

**Spline interpolasyonu** bu yaklaşımın standart biçimidir. Kübik spline, her aralıkta üçüncü dereceden polinom kullanır ve birleşme noktalarında birinci ve ikinci türevlerin sürekliliğini sağlar. Sonuç hem düzgün hem kararlıdır.

Uygulamada eğri geçirme işlerinin çoğu spline ile yapılır.

### İnterpolasyon ile eğri uydurma ayrımı

İnterpolasyon, bütün noktalardan geçmeyi şart koşar. Veri kesin kabul edilir.

Ölçüm verisi gürültü içeriyorsa bu şart zararlıdır. Polinom gürültüyü de izler.

Bu durumda **eğri uydurma** kullanılır. En küçük kareler yöntemiyle noktalara en yakın eğri geçirilir; noktalardan geçme zorunluluğu yoktur.

Ayrımı belirleyen soru şudur: veri kesin mi, yoksa gürültülü mü?

## Genel Kavramsal Çerçeve

Dersin beş ünitesi tek bir düşüncenin uygulamalarıdır.

O düşünce şudur: **çözülemeyen problemi, çözülebilen bir problemle yeterli doğrulukta değiştirmek**.

Her ünitede aynı değiştirme yapılır:

```text
fonksiyon            →  polinom            (Taylor, interpolasyon)
doğrusal olmayan     →  doğrusal           (Newton-Raphson teğeti)
genel matris         →  üçgen matris       (Gauss, LU, Cholesky)
sürekli problem      →  ayrık problem      (nokta kümesi)
kesin çözüm          →  yakınsayan dizi    (iterasyon)
```

Sol taraf zor, sağ taraf kolaydır. Bütün yöntemler bu okun üzerinde durur.

İkinci bağ **hatanın merkezî konumudur**. Yaklaşık çözüm ancak hatası bilindiğinde anlamlıdır. Ders boyunca hata üç kez karşımıza çıkar. Taylor serisinde kalan terim, iterasyonda durdurma ölçütü, interpolasyonda derece seçimi. Üçü de aynı sorunun biçimleridir: nerede durulacak.

Üçüncü bağ **maliyet ile doğruluk ödünleşmesidir**. Her ünitede aynı karar verilir.

```text
Cramer  vs  Gauss              n! ile n³
kofaktör  vs  satır indirgeme  n! ile n³
Gauss  vs  LU                  tek çözüm ile çok çözüm
doğrudan  vs  iteratif         yoğun ile seyrek
yarılama  vs  Newton           güvenlik ile hız
```

Doğru yöntem yoktur. Probleme uygun yöntem vardır. Ölçüt boyut, seyreklik, türev maliyeti ve güvenlik gereksinimidir.

Dördüncü bağ **kararlılık ile koşulluluk ayrımıdır**. İki kavram farklıdır ve karıştırılır.

Koşulluluk problemin özelliğidir. Kötü koşullu bir problem, girdi verisindeki küçük değişime aşırı duyarlıdır. Hiçbir algoritma bunu düzeltemez.

Kararlılık algoritmanın özelliğidir. Kararsız bir algoritma, iyi koşullu bir problemde bile hatayı büyütür. Pivotlama, kararlılık için alınan önlemdir.

Beşinci bağ **yakınsama mertebesidir**. İteratif yöntemlerin tümü aynı ölçütle karşılaştırılır: hata her adımda hangi kuvvetle küçülüyor. Doğrusal yakınsama sabit çarpan, karesel yakınsama basamak ikiye katlanması demektir. Bu tek sayı, yöntem seçiminin özetidir.

Dersin sınırı da belirtilmelidir. Sayısal türev, sayısal integrasyon, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü ve özdeğer hesabı bu metnin dışındadır. Kurulan hata, matris ve iterasyon altyapısı bunların doğrudan hazırlığıdır.

## Kavramsal Ayrımlar

Akılda tutulması gereken ayrımlar şunlardır:

**Yaklaşık çözüm ≠ yanlış çözüm.** Hata denetim altındaysa yeterlidir.

**Taylor ≠ Maclaurin.** Maclaurin, a = 0 alınmış Taylor serisidir.

**Kesme hatası ≠ yuvarlama hatası.** İlki yöntemden, ikincisi sayı gösteriminden doğar.

**Mutlak hata ≠ bağıl hata.** Karşılaştırmalarda bağıl hata kullanılır.

**Gerçek hata ≠ yaklaşık hata.** Uygulamada gerçek değer bilinmediği için ardışık fark kullanılır.

**Ardışık iki değerin yakınlığı yakınsamayı garanti etmez.** Yavaş yakınsayan dizide adımlar küçük, hata büyük olabilir.

**Kayan nokta toplaması birleşmeli değildir.** Sıralama sonucu değiştirir.

**Eşitlik karşılaştırması yapılmaz.** Karşılaştırma tolerans üzerinden yürür.

**Yıkıcı sadeleşme küçük sayılardan değil, yakın sayıların farkından doğar.**

**Üst üçgen matris kolay çözülür.** Bütün eliminasyon yöntemlerinin amacı budur.

**LU ≠ Gauss.** Aynı işlem, farklı saklama. Kazanç çok sağ tarafta ortaya çıkar.

**Cholesky her matrise uygulanmaz.** Simetri ve pozitif tanımlılık zorunludur.

**Koşul sayısı ≠ kararlılık.** İlki problemin, ikincisi algoritmanın özelliğidir.

**Pivotlama matematiksel değil, sayısal bir önlemdir.** Tam aritmetikte sonucu değiştirmez.

**Kofaktör açılımı n! işlem yapar.** Determinant için satır indirgeme kullanılır.

**Cramer yöntemi doğrudur ama pahalıdır.** Sayısal uygulamada kullanılmaz.

**Lineer sistemi çözmek için ters matrisi açıkça hesaplamak genellikle gerekmez.** Uygun pivotlama veya ayrıştırma kullanan doğrudan yöntemler çoğu durumda daha ucuz ve sayısal olarak daha uygundur.

**Doğrudan yöntem ≠ iteratif yöntem.** İlki sonlu adımda biter, ikincisi yaklaşır.

**İteratif yöntemler özellikle büyük ve seyrek sistemlerde avantajlıdır.** Küçük ve yoğun sistemlerde doğrudan yöntemler çoğu zaman daha uygun olur.

**Köşegen baskınlık yeterli koşuldur, gerekli değildir.**

**Jacobi ≠ Gauss-Seidel.** Gauss-Seidel yeni değerleri aynı iterasyon içinde kullanır ve uygun problemlerde daha hızlı yakınsabilir; bu veri bağımlılığı nedeniyle doğrudan paralelleştirilmesi Jacobi yöntemine göre daha zordur.

**Kapalı yöntem ≠ açık yöntem.** Uygun süreklilik ve işaret-değişimi koşullarında kapalı yöntemler kökü aralıkta tutar; açık yöntemlerde böyle genel bir yakınsama güvencesi yoktur.

**Yarılama yönteminde gerekli adım sayısına üst sınır önceden verilebilir.** Bu sonuç, başlangıç aralığı ve hedef tolerans üzerinden doğrudan elde edilir.

**İşaret değişimine dayalı standart yarılama yaklaşımı çift katlı kökü genellikle yakalayamaz.** Çift katlı kökte fonksiyonun işareti değişmeyebilir.

**Regula-falsi ≠ sekant.** İlkinde işaret koşulu korunur, ikincisinde korunmaz.

**Newton-Raphson basit kökün yeterince yakınında uygun koşullarda karesel yakınsar, ancak genel yakınsama garantisi yoktur.** Türevin sıfıra yaklaşması büyük adımlara ve başarısız yakınsamaya yol açabilir.

**Çok katlı kökte Newton-Raphson karesel yakınsamaz.**

**Sabit nokta iterasyonunda |g'(x)| < 1 aranır.** Aynı denklemin farklı düzenlemeleri farklı davranır.

**|f(x)| küçük olması kökte olunduğunu göstermez.** Yatık fonksiyonlarda yanıltıcıdır.

**İnterpolasyon ≠ ekstrapolasyon.** Ekstrapolasyon veri aralığının dışına taşar ve model varsayımlarına daha fazla bağımlı olduğu için genellikle daha risklidir.

**n+1 noktadan geçen polinom tektir.** Lagrange ve Newton biçimleri aynı polinomdur.

**Lagrange ≠ Newton biçimi.** Newton biçimi yeni nokta eklemeye elverişlidir.

**Polinom derecesini artırmak doğruluğu garanti etmez.** Eşit aralıklı noktalarda yüksek dereceli interpolasyon Runge tipi uç salınımları üretebilir.

**Tek yüksek dereceli polinom ≠ parçalı polinom.** Uygulamada spline kullanılır.

**İnterpolasyon ≠ eğri uydurma.** İlki noktalardan geçer, ikincisi gürültüyü süzer.

Bu ayrımlar kavrandığında dersin konuları tek bir yaklaştırma stratejisi çerçevesinde yerine oturur.

## Kaynakça

- Ahmet Yesevi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. *Sayısal Çözümleme* (TBIL301) ders materyalleri.
- Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden. *Numerical Analysis*, 10th Edition. Cengage, 2015.
- Steven C. Chapra, Raymond P. Canale. *Numerical Methods for Engineers*, 7th Edition. McGraw-Hill, 2015.
- Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. *Matrix Computations*, 4th Edition. Johns Hopkins University Press, 2013.
- Lloyd N. Trefethen, David Bau III. *Numerical Linear Algebra*. SIAM, 1997.
- Nicholas J. Higham. *Accuracy and Stability of Numerical Algorithms*, 2nd Edition. SIAM, 2002.
- William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. *Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing*, 3rd Edition. Cambridge University Press, 2007.

## Bu Çalışmaya Atıf

Köker, M. A. (2014). Nümerik Analiz: Sayısal Çözümleme Yöntemleri. alikoker.com.tr. https://alikoker.com.tr/numerik-analiz-sayisal-cozumleme-yontemleri

- BibTeX: https://alikoker.com.tr/numerik-analiz-sayisal-cozumleme-yontemleri.bib
- RIS: https://alikoker.com.tr/numerik-analiz-sayisal-cozumleme-yontemleri.ris
- CSL-JSON: https://alikoker.com.tr/numerik-analiz-sayisal-cozumleme-yontemleri.csl.json